Laplaceovo pravidlo je metóda, ktorá umožňuje rýchlo vypočítať determinant štvorcovej matice s rozmermi 3 × 3 alebo väčšími pomocou rekurzívnej expanznej série.
Inými slovami, Laplaceovo pravidlo faktorizuje počiatočnú maticu na matice nižších rozmerov a upravuje jej znamienko na základe polohy prvku v matici.
Túto metódu je možné vykonať pomocou riadkov alebo stĺpcov.
Odporúčané články: matice, typológie matíc a determinant matice.
Laplaceov vzorec pravidla
Daná matica Zmxn akýkoľvek rozmer mxn,kde m = n sa rozširuje vzhľadom na i-tý riadok, potom:
- Dijje determinant získaný elimináciou i-tého riadku a i-tého stĺpca z Zmxn.
- Mijje i, j-tá menej. Determinant Dijvo funkcii Mijsa nazýva i, j-tá kofaktormatice Zmxn.
- do je znakové nastavenie polohy.
Teoretický príklad Laplaceovej vlády
Definujeme TO3×3 Čo:
- Začnime prvým prvkom a11. Nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré tvoria11. Prvky, ktoré zostanú bez mriežky, budú prvým determinantom menej vynásobené a11.
2. Pokračujeme druhým prvkom prvého radu, to znamená na12. Postup opakujeme: nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré obsahujú12.
Upravíme znamenie maloletého:
Pridáme druhý determinant menejk predchádzajúcemu výsledku a tvoríme sériu rozšírení, ktorá:
3. Pokračujeme tretím prvkom prvého radu, to znamená na13. Postup opakujeme: nastrúhame riadok a stĺpec, ktoré obsahujú13.
Pridáme tretí determinant menej k predchádzajúcemu výsledku a rozširujeme rozširujúce série tak, aby:
Pretože v prvom riadku už neostávajú žiadne ďalšie prvky, rekurzívny proces uzavrieme. Vypočítame determinanty maloletí.
Rovnakým spôsobom, ako boli použité prvky z prvého riadku, je možné túto metódu použiť aj pre stĺpce.
Praktický príklad Laplaceovho pravidla
Definujeme TO3×3Čo:
1. Začnime prvým prvkom r11= 5. Nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré tvoria11= 5. Prvky, ktoré zostanú bez mriežky, budú prvým determinantom menej vynásobené a11=5.
2. Pokračujeme druhým prvkom prvého radu, teda r12= 2. Postup opakujeme: nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré obsahujú r12=2.
Upravíme znamenie maloletého:
Pridáme druhý determinant menej k predchádzajúcemu výsledku a tvoríme sériu rozšírení, ktorá:
3. Pokračujeme tretím prvkom prvého radu, teda r13= 3. Postup opakujeme: nastrúhame riadok a stĺpec, ktoré obsahujú r13=3.
Pridáme tretí determinant menej k predchádzajúcemu výsledku a rozširujeme rozširujúce série tak, aby:
Determinant maticeR3×3 je 15.