Laplaceovo pravidlo - Čo to je, definícia a pojem

Laplaceovo pravidlo je metóda, ktorá umožňuje rýchlo vypočítať determinant štvorcovej matice s rozmermi 3 × 3 alebo väčšími pomocou rekurzívnej expanznej série.

Inými slovami, Laplaceovo pravidlo faktorizuje počiatočnú maticu na matice nižších rozmerov a upravuje jej znamienko na základe polohy prvku v matici.

Túto metódu je možné vykonať pomocou riadkov alebo stĺpcov.

Odporúčané články: matice, typológie matíc a determinant matice.

Laplaceov vzorec pravidla

Daná matica Z_mxn akýkoľvek rozmer mxn,kde m = n sa rozširuje vzhľadom na i-tý riadok, potom:

• D_ijje determinant získaný elimináciou i-tého riadku a i-tého stĺpca z Z_mxn.

• M_ijje i, j-tá menej. Determinant D_ijvo funkcii M_ijsa nazýva i, j-tá kofaktormatice Z_mxn.
• do je znakové nastavenie polohy.

Teoretický príklad Laplaceovej vlády

Definujeme TO_3×3 Čo:

1. Začnime prvým prvkom a₁₁. Nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré tvoria₁₁. Prvky, ktoré zostanú bez mriežky, budú prvým determinantom menej vynásobené a₁₁.

2. Pokračujeme druhým prvkom prvého radu, to znamená na₁₂. Postup opakujeme: nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré obsahujú₁₂.

Upravíme znamenie maloletého:

Pridáme druhý determinant menejk predchádzajúcemu výsledku a tvoríme sériu rozšírení, ktorá:

3. Pokračujeme tretím prvkom prvého radu, to znamená na₁₃. Postup opakujeme: nastrúhame riadok a stĺpec, ktoré obsahujú₁₃.

Pridáme tretí determinant menej k predchádzajúcemu výsledku a rozširujeme rozširujúce série tak, aby:

Pretože v prvom riadku už neostávajú žiadne ďalšie prvky, rekurzívny proces uzavrieme. Vypočítame determinanty maloletí.

Rovnakým spôsobom, ako boli použité prvky z prvého riadku, je možné túto metódu použiť aj pre stĺpce.

Praktický príklad Laplaceovho pravidla

Definujeme TO_3×3Čo:

1. Začnime prvým prvkom r₁₁= 5. Nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré tvoria₁₁= 5. Prvky, ktoré zostanú bez mriežky, budú prvým determinantom menej vynásobené a₁₁=5.

2. Pokračujeme druhým prvkom prvého radu, teda r₁₂= 2. Postup opakujeme: nastrúhame riadky a stĺpce, ktoré obsahujú r₁₂=2.

Upravíme znamenie maloletého:

Pridáme druhý determinant menej k predchádzajúcemu výsledku a tvoríme sériu rozšírení, ktorá:

3. Pokračujeme tretím prvkom prvého radu, teda r₁₃= 3. Postup opakujeme: nastrúhame riadok a stĺpec, ktoré obsahujú r₁₃=3.

Pridáme tretí determinant menej k predchádzajúcemu výsledku a rozširujeme rozširujúce série tak, aby:

Determinant maticeR_3×3 je 15.