Choleský rozklad je špeciálny druh rozkladu matice LU, z angličtiny Lower-Upper, ktorý spočíva v prevedení matice na produkt dvoch alebo viacerých matíc.
Inými slovami, Choleského rozklad spočíva v tom, že sa matica obsahujúca rovnaký počet riadkov a stĺpcov (štvorcová matica) vyrovná matici s nulami nad hlavnou uhlopriečkou vynásobenou jej maticou transponovanou nulami pod hlavnou uhlopriečkou.
LU rozklad, na rozdiel od Choleského, je možné aplikovať na rôzne typy štvorcových matíc.
Choleského charakteristika rozkladu
Choleský rozklad pozostáva z:
- Horná trojuholníková štvorcová matica: Štvorcová matica, ktorá má iba nuly pod hlavnou uhlopriečkou.
- Dolná trojuholníková štvorcová matica: Matica, ktorá má nad hlavnou uhlopriečkou iba nuly.
Matematicky, ak existuje pozitívna určitá symetrická matica, A, potom existuje nižšia trojuholníková symetrická matica, K, rovnakého rozmeru ako A, vyúsťujúce do:
Vyššie uvedená matica sa javí ako Choleského matica E. Táto matica funguje ako druhá odmocnina matice E. Vieme, že doména druhej odmocniny je:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Čo je definované vo všetkých nezáporných reálnych číslach. Rovnakým spôsobom ako druhá odmocnina bude Choleskyho matica existovať iba vtedy, ak je matica semi-pozitívna definitívna. Matica je definovaná ako polopozitívna, keď majú hlavní maloletí pozitívny alebo nulový determinant.
Choleský rozklad A je diagonálna matica taká, že:
Vidíme, že matice sú štvorcové a obsahujú spomínané charakteristiky; trojuholník núl nad hlavnou uhlopriečkou v prvej matici a trojuholník núl pod hlavnou uhlopriečkou v transformovanej matici.
Choleský rozklad
Vo finančníctve sa používa na transformáciu realizácií nezávislých normálnych premenných na normálne premenné korelované podľa korelačnej matice A.
Ak N je vektor nezávislých normálov (0,1), vyplýva z toho, že Ñ je vektor Normálov (0,1) korelovaný podľa A.
Príklad Choleského rozkladu
Toto je najjednoduchší príklad Choleského rozkladu, pretože matice musia byť štvorcové, v tomto prípade je matica (2 × 2). Dva riadky po dvoch stĺpcoch. Okrem toho spĺňa vlastnosti nuly nad a pod hlavnou uhlopriečkou. Táto matica je semi-pozitívna určitá, pretože hlavní maloletí majú pozitívny determinant. Definujeme:
Riešenie pre: c2 = 4; bc = -2; do2+ b2 = 5; máme štyri možné Cholesky matice:
Nakoniec spočítame, aby sme našli (a, b, c). Akonáhle ich nájdeme, budeme mať Cholesky matice. Výpočet je nasledovný:
