Darmoisova veta je veta, ktorá umožňuje nájsť štatistiku T pre parameter θ s vlastnosťou dostačujúca.
Jednoduchšími slovami umožňuje vyhľadať dostatočný štatistický údaj o matematickom vyjadrení, ak existuje.
Vo vzťahu k Fisherovmu-Neymanovmu faktoringovému kritériu môžeme urobiť úvahu. Kritérium Fisherovho-Neymanovho faktoringu slúži jednak na kontrolu, či štatistika spĺňa vlastnosť dostatočnej hodnoty, jednak na nájdenie matematického vyjadrenia dostatočnej štatistiky (ak existuje). Naproti tomu Darmoisova veta umožňuje nájsť iba matematické vyjadrenie (ak existuje) dostatočnej štatistiky.
Povedzme, že zatiaľ čo sa Fisherovo-Neymanovo faktoringové kritérium pohybuje dopredu (vyhľadávanie) a dozadu (kontrola), Darmoisova veta sa pohybuje iba dopredu (vyhľadávanie).
Darmoisova veta
Teoreticky je vyjadrená vzhľadom na jednoduchú náhodnú vzorku náhodnej premennej X s hustotnou funkciou f (x; θ) s θ ∈ Ω. Ak táto funkcia patrí do exponenciálnej rodiny, to znamená, že ju možno vyjadriť tak, že:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Potom štatistika T = T (x1, …, xn) = Σ a (x)
Na uľahčenie výpočtov sa zvyčajne vykonáva logaritmická notácia:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Samozrejme, je ťažké pochopiť celú túto matematickú notáciu. Objaví sa veľa neznámych, veľa písmen, veľa operátorov. Zadefinujeme to hovorovými slovami. Za týmto účelom začneme teoretickou definíciou použitou na príklad:
Predpokladajme náhodnú vzorku 50 detí (jednoduchá náhodná vzorka), ktorých sa pýtame, koľko peňazí týždenne minú za sladkosti (náhodná premenná X) s danou funkciou hustoty (pozri funkciu hustoty). Ak teda máme túto funkciu hustoty, môžeme ju vyjadriť nasledovne:
Zistíme, že dostatočná štatistika je súčtom výrazu a (x)
Časti vzorca sú definované takto:
- lnβ (θ): Je to funkcia, ktorá závisí iba od parametra (v našom prípade priemeru)
- lnb (x): Je to funkcia, ktorá závisí iba od náhodnej premennej X
- a (x): Je to funkcia, ktorá závisí iba od X a vynásobí α (θ)
- α (θ): Je to funkcia, ktorá závisí iba od parametra (v našom prípade priemeru)
Darmoisova veta v praxi
Aj keď všetci máme schopnosti a nástroje na objavovanie nových štatistík, je to zriedka normou. Inými slovami, profesori ekonómie a odborníci v tejto oblasti robia výskum na tieto témy.
Z osobného hľadiska je ťažké nájsť niekoho, kto sa venuje tomuto typu výskumu. V praxi je teda v tejto vete dôležité pochopiť, odkiaľ pochádzajú tieto štatistické údaje, ktoré používame.
Napríklad na to, aby niekto zistil, že priemer je dostatočná štatistika, pravdepodobne použil tento postup.
