Rozdiel medzi konkávnymi a konvexnými možno vysvetliť nasledovne → Termín konvexný označuje skutočnosť, že povrch má vnútorné zakrivenie, zatiaľ čo ak by bol konkávny, zakrivenie by bolo smerom von.
Môžeme to teda opísať iným spôsobom. Stredná časť konvexného povrchu je depresívnejšia alebo depresívnejšia. Na druhej strane, ak by bola konkávna, mala by táto stredná časť vyniknúť.
Aby sme tomu lepšie porozumeli, môžeme uviesť niekoľko príkladov. Po prvé, klasický prípad gule, ktorej povrch je konvexný. Ak by sme to však rozrezali na dve časti a udržali by sme dolnú polovicu, mali by sme konvexný objekt s priehybom (za predpokladu, že vnútro gule je prázdne).
Ďalším príkladom konkávneho stavu by mohla byť hora, pretože ide o výbežok vzhľadom na zemský povrch. Naopak, studňa je konkávna, pretože vstup do nej znamená ponorenie sa pod úroveň zemského povrchu.
Je tiež potrebné poznamenať, že pri definovaní objektu ako konkávnej alebo konvexnej perspektívy sa tiež musí brať do úvahy. Teda napríklad tanier na polievku, keď je pripravený na podávanie, je vypuklý, má prepad. Ak to však obrátime, plech bude vydutý.
Ak napríklad analyzujeme paraboly, sú konvexné, ak majú tvar U, ale konkávne, ak majú obrátený tvar U.
Konkávne a konvexné funkcie
Ak je druhá derivácia funkcie v bode menšia ako nula, potom je funkcia v tomto bode konkávna. Na druhej strane, ak je väčšia ako nula, je v tom bode konvexná. Vyššie uvedené možno vyjadriť nasledovne:
Ak f »(x) <0, f (x), je konkávne.
Ak f »(x)> 0, f (x), je konvexné.
Napríklad v rovnici f (x) = x2+ 5x-6, môžeme vypočítať jeho prvú deriváciu:
f '(x) = 2x + 5
Potom nájdeme druhú deriváciu:
f »(x) = 2
Pretože je teda f »(x) väčšie ako 0, je funkcia konvexná pre každú hodnotu x, ako vidíme na nasledujúcom grafe:
Teraz sa pozrime na prípad tejto ďalšej funkcie: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Pretože je teda druhá derivácia menšia ako 0, je funkcia konkávna pre každú hodnotu x.
Teraz sa však pozrime na nasledujúcu rovnicu: -5 x3+ 7x2+5 x -4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Nastavili sme druhú deriváciu na nulu:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Takže keď x je väčšie ako 0,4667, f »(x) je väčšie ako nula, takže funkcia je konvexná. Pokiaľ je x menšie ako 0,4667, je funkcia konkávna, ako vidíme na nasledujúcom grafe:
Konvexný a konkávny mnohouholník
Konvexný mnohouholník je taký, kde je možné spojiť dva z jeho bodov a nakresliť rovnú čiaru, ktorá zostane na obrázku. Rovnako tak sú jeho vnútorné uhly všetky menšie ako 180 °.
Na druhej strane je konkávny mnohouholník taký, kde na spojenie dvoch jeho bodov je potrebné nakresliť rovnú čiaru, ktorá je mimo obrazca, čo je vonkajšia uhlopriečka, ktorá spája dva vrcholy. Ďalej je aspoň jeden z jeho vnútorných uhlov väčší ako 180 °.
Porovnanie môžeme vidieť na obrázku nižšie:
