Centrálna limitná veta (TCL) je štatistická teória, ktorá uvádza, že pri dostatočne veľkej náhodnej vzorke populácie bude distribúcia výberových prostriedkov nasledovať normálne rozdelenie.
Ďalej TCL uvádza, že s rastúcou veľkosťou vzorky sa priemer vzorky priblíži k priemeru populácie. Preto pomocou TCL môžeme definovať distribúciu výberového priemeru určitej populácie so známou odchýlkou. Distribúcia bude teda nasledovať normálne rozdelenie, ak je veľkosť vzorky dostatočne veľká.
Hlavné vlastnosti centrálnej limitnej vety
Centrálna limitná veta má rad veľmi užitočných vlastností v štatistickej a pravdepodobnostnej oblasti. Hlavné sú:
- Ak je veľkosť vzorky dostatočne veľká, distribúcia prostriedkov na vzorkovanie bude približne nasledovať po normálnom rozdelení. TCL považuje vzorku za veľkú, ak je jej veľkosť väčšia ako 30. Preto, ak je vzorka väčšia ako 30, bude mať vzorkový priemer distribučnú funkciu blízku normálnej. A to platí bez ohľadu na formu distribúcie, s ktorou pracujeme.
- Priemerná populácia a priemerná vzorka budú rovnaké. To znamená, že priemer distribúcie všetkých priemerov vzorky sa bude rovnať priemeru celkovej populácie.
- Rozptyl distribúcie priemerov vzorky bude σ² / n. Čo je rozptyl populácie vydelený veľkosťou vzorky.
To, že sa distribúcia vzorkových prostriedkov podobá normálnym, je nesmierne užitočné. Pretože normálne rozdelenie sa dá veľmi ľahko aplikovať na vykonanie hypotéznych testov a zostavenie intervalov spoľahlivosti. V štatistikách je distribúcia normálna dosť dôležitá, pretože veľa štatistík vyžaduje tento typ distribúcie. Okrem toho nám TCL umožní odvodiť populačný priemer prostredníctvom priemerného súboru. A to je veľmi užitočné, keď kvôli nedostatku prostriedkov nemôžeme zhromažďovať údaje od celej populácie.
Príklad centrálnej limitnej vety
Predstavme si, že chceme analyzovať historické priemerné výnosy indexu S&P 500, ktorý, ako vieme, má okolo 500 spoločností. Nemáme ale dosť informácií na to, aby sme analyzovali všetkých 500 spoločností v indexe. V tomto prípade by priemerná ziskovosť S&P 500 bola priemerom populácie.
Podľa TCL môžeme teraz vziať vzorku z týchto 500 spoločností na vykonanie analýzy. Jediné obmedzenie, ktoré máme, je, že vo vzorke musí byť viac ako 30 spoločností, aby mohla byť veta splnená. Poďme si teda predstaviť, že z indexu náhodne vyberieme 50 spoločností a postup opakujeme niekoľkokrát. V príklade by ste mali postupovať takto:
- Vyberieme vzorku asi 50 spoločností a získame priemernú ziskovosť celej vzorky.
- Priebežne vyberáme 50 spoločností a dosahujeme priemernú ziskovosť.
- Distribúcia všetkých priemerných výnosov všetkých vybraných vzoriek sa bude približovať normálnemu rozdeleniu.
- Priemerné výnosy všetkých vybraných vzoriek sa budú približovať priemerným výnosom z celkového indexu. Ako ukazuje Centrálna limitná veta.
Odvodením od priemerného výnosu vzorky sa teda môžeme priblížiť k priemernému výnosu indexu.