Set algebra - čo to je, definícia a koncept

Sada algebra je oblasť štúdia, v rámci matematiky a logiky, zameraná na operácie, ktoré je možné vykonávať medzi množinami.

Množinová algebra je súčasťou toho, čo poznáme ako teória množín.

Malo by sa pamätať na to, že množina predstavuje zoskupenie prvkov rôzneho druhu, ako sú napríklad písmená, číslice, symboly, funkcie, geometrické obrazce.

Nastaviť operácie

Hlavné operácie so súpravami sú tieto:

• Únie: Spojenie dvoch alebo viacerých množín obsahuje všetky prvky, ktoré patria aspoň do jednej z týchto množín. Je to naznačené písmenom U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Križovatka: Priesečník dvoch alebo viacerých množín obsahuje prvky, ktoré tieto množiny zdieľajú. Je to indikované obráteným U (∩). Príklad:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Rozdiel: Rozdiel jednej množiny od druhej sa rovná prvkom prvej množiny mínus prvky druhej množiny. Je označený symbolom alebo -. Z iného pohľadu x ∈ a A B ak x ∈ A, ale x ∉ B. Príklad:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Doplnok: Doplnok sady obsahuje všetky prvky, ktoré táto sada neobsahuje (ale ktoré patria do inej univerzálnej referenčnej sady). Je to označené horným indexom C. Príklad:

A = (3,9,12,15,18)

U (vesmír) = všetky násobky 3, čo sú celé prirodzené čísla menšie ako 30.

TO^C.=(6,21,24,27)

• Symetrický rozdiel: Symetrický rozdiel dvoch množín zahŕňa všetky prvky, ktoré sú v jednej alebo druhej, ale nie v oboch súčasne. To znamená, že ide o spojenie množín mínus ich priesečník. Jeho symbol je Δ. Príklad:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Kartézsky súčin: Je to operácia, ktorej výsledkom je nová množina, ktorá obsahuje ako prvky usporiadané páry alebo n-tice (usporiadané rady) prvkov, ktoré patria do dvoch alebo viacerých množín. Sú to zoradené páry, ak sú to dve sady, a n-tice, ak máme viac ako dve sady. Príklad:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, r), (15, x), (15, r), (6, x), (6, r), (51, x), (51, r) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Zákony množinovej algebry

Zákony množinovej algebry sú nasledovné:

• Idempotencia: Spojením alebo priesečníkom množiny so sebou sa získa rovnaká množina:

XUX = X

X∩X = X

• Komutatívny: Poradie faktorov nemení výsledok pri hľadaní spojenia alebo priesečníka množín:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Distribučné: Spojenie množiny X s priesečníkom dvoch ďalších množín Y a Z sa rovná priesečníku spojenia X a Y so spojením X a Z. To znamená:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

To isté platí navyše, ak obrátime poradie operácií:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Asociačné: Pojmy spojovacej alebo križovatkovej operácie niekoľkých množín možno zoskupiť nevýrazne, pričom sa vždy získa rovnaký výsledok:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morganov zákon: Doplnok spojenia dvoch množín sa rovná priesečníku ich doplnkov a doplnok spojenia dvoch množín sa rovná spojeniu ich doplnkov.

(XUY)^C.= X^C.∩Y^C.

(X∩Y)^C.= X^C.Uy^C.

• Rozdielový zákon: Rozdiel jednej množiny oproti druhej sa rovná priesečníku prvej s doplnkom druhej:

(X-Y) = X∩Y^C.

• Doplnkové zákony:
  • Spojenie množiny s jej doplnkom sa nerovná univerzálnej množine. XUX^C.= U
  • Priesečník množiny s jej doplnkom sa rovná nulovej alebo prázdnej množine. X∩X^C.=∅
  • Doplnok doplnku množiny X sa rovná množine X. (X^C.)^C.= X
  • Doplnok univerzálnej množiny sa rovná nulovej alebo prázdnej množine. X^C.=∅
  • Doplnok prázdnej množiny sa rovná univerzálnej množine. ∅^C.= U

• Zákony absorpcie:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C.∩Y) = XUY
  • X∩ (X^C.UY) = X∩Y