Kužeľ je trojrozmerný geometrický útvar, ktorý je tvorený otáčaním pravého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh.
Kužeľom je potom geometrické teleso s kruhovou základňou, ktorá je pripevnená k vonkajšiemu bodu, ktorý sa nazýva vrchol.
Je potrebné poznamenať, že kužeľ je revolučným telesom. To znamená, že ho získate otočením figúry alebo plochého povrchu okolo osi. Tieto typy postáv sa vyznačujú tým, že nemajú ploché tváre, ako je mnohouholník, ale majú zakrivený povrch. Niektoré ďalšie príklady sú valec a guľa.
Malo by sa objasniť, že v tomto článku podrobne rozoberieme vlastnosti kužeľa, kde je vrchol kolmý na základňu (vytvára pravý uhol alebo 90 °). Existujú však šikmé kužele, také, pri ktorých táto podmienka nie je splnená a postava je naklonená.
Prvky kužeľa
Prvky kužeľa, ktoré nás vedú z obrázku nižšie, sú nasledujúce:
- Os: Je to imaginárna čiara, na ktorej je noha umiestnená, okolo ktorej sa otáča pravý trojuholník, ktorý tvorí kužeľ.
- Základňa: Je to kruh, na ktorom je vytvorené telo kužeľa. Jeho polomer (r) je segment AC.
- Smernica: Je to obvod základne kužeľa.
- Generatrix (segment BC dĺžky L): Je to priamka, ktorá spája vrchol s akýmkoľvek bodom v priamke. To znamená akýkoľvek segment, ktorý spája vrchol s obrysom základne. Taktiež je to prepona pravého trojuholníka, ktorá sa otáča a vytvára kužeľ.
- Vrchol kužeľa (bod B): Vonkajší bod je directrix, kde sa zhodujú všetky všeobecné priamky obrázku. Je to vrchol geometrického telesa.
- Výška (segment AB dĺžky h): Je to kolmý segment, ktorý spája vrchol a základňu. Zhoduje sa s nohou, okolo ktorej sa trojuholník otáča, aby vytvoril kužeľ.
Plocha kužeľa a objem
Aby sme lepšie pochopili vlastnosti kužeľa, môžeme vypočítať nasledujúce merania:
- Plocha: Aby sme našli oblasť kužeľa, musíme pridať plochu základne (Ab) plus plocha tela na figúre alebo bočná plocha (AĽ)
Plocha základne sa počíta, ako je vysvetlené v článku o obvode, vynásobením π polomerom štvorca na druhú.
Rovnako sa laterálna plocha počíta tak, že sa π vynásobí polomerom základne a dĺžkou priamky (L).
Môžeme teda nájsť celkovú plochu obrázku:
Musíme tiež vziať do úvahy, že generatrix je preponou pravého trojuholníka, ktorý tvorí spolu s polomerom základne a výškou kužeľa, pričom posledné dve sú nohy. Preto možno použiť Pytagorovu vetu:
- Objem: Objem kužeľa sa vypočíta vynásobením 1/3 polomerom štvorca základne, π a výškou kužeľa.
Príklad kužeľa
Predpokladajme, že máme kužeľ, ktorého základňa má polomer 12 metrov a výška figúry je 14 metrov. Aká je plocha a objem kužeľa?
Najskôr vyriešime dĺžku generatrix (L) pomocou Pythagorovej vety, ako je vysvetlené vyššie:
Potom zapojíme L do plošného vzorca, aby sme našli oblasť kužeľa:
Nakoniec nájdeme zväzok:
