Gauss-Markovova veta je súbor predpokladov, ktoré musí spĺňať odhadca OLS (Ordinary Least Squares), aby mohol byť považovaný za ELIO (Optimal Linear Un nestable Estimator). AGauss-Markovovu vetu sformulovali Carl Friederich Gauss a Andrej Markov.
Carl Friederich Gauss a Andréi Márkov vytvorili určité predpoklady, aby sa odhadca OLS mohol stať ELIO.
Ak je týchto 5 predpokladov splnených, môžeme potvrdiť, že odhadcom je odhad s minimálnou (najpresnejšou) odchýlkou všetkých lineárnych a nezaujatých odhadov. V prípade, že niektorý z predpokladov prvých troch zlyhá (Linearita, Nulová stredná-prísna exogenita alebo Žiadna dokonalá multicolinearita), odhad OLS už nie je nezaujatý. Ak zlyhajú iba 4 alebo 5 (homoscedasticita a žiadna autokorelácia), odhadca je stále lineárny a nestranný, ale už nie je najpresnejší. Ak zhrnieme, Gauss-Markovova veta uvádza, že:
- Za predpokladu 1, 2 a 3 je odhad OLS lineárny a nestranný. Teraz, pokiaľ sú splnené prvé tri predpoklady, je možné zabezpečiť, aby bol odhadca nezaujatý. Aby bol odhad konzistentný, musíme mať veľkú vzorku, čím viac, tým lepšie.
- Za predpokladu 1, 2, 3, 4 a 5 je odhad OLS lineárny, nestranný a optimálny (ELIO).
Predpoklady Gauss-Markovovej vety
Konkrétne existuje 5 predpokladov:
1. Lineárny model v parametroch
Je to dosť flexibilný predpoklad. Umožňuje používať funkcie premenných, ktoré sú predmetom záujmu.
2. Nulová zlá a prísna exogenita
Znamená to, že stredná hodnota chyby podmienenej vysvetleniami sa rovná bezpodmienečnej očakávanej hodnote a rovná sa nule. Prísna exogenita ďalej vyžaduje, aby chyby modelu nekorelovali so žiadnymi pozorovaniami.
Nulový priemer:
Prísna exogenita:
Nulová priemerná a prísna exogenita zlyhajú, ak:
- Model je zle špecifikovaný (napríklad vynechanie relevantných premenných).
- V premenných sú chyby merania (údaje neboli skontrolované).
- V časových radoch striktná exogenita zlyháva v modeloch oneskorenej endogenity (aj keď súčasná exogenita môže existovať) a v prípadoch, keď existujú účinky spätnej väzby.
V prierezových dátach je oveľa jednoduchšie dosiahnuť predpoklad exogenity ako v prípade časových radov.
3. Žiadna presná multicolinearita
Vo vzorke nie je žiadna z vysvetľujúcich premenných konštantná. Medzi vysvetľujúcimi premennými neexistujú presné lineárne vzťahy. Nevylučuje určitú (nie dokonalú) koreláciu medzi premennými. Podľa Gaussa a Markova, keď má model presnú multicolinearitu, je to zvyčajne kvôli chybe analytika.
4. Homoscedasticita
Rozptyl chyby, a teda aj Y, je nezávislý od vysvetľujúcich hodnôt a navyše od variácie konštantnej chyby. Matematicky je vyjadrená ako:
Tu je rad údajov s homoscedastickým vzhľadom.
5. Žiadna autokorelácia
Chybové podmienky dvoch rôznych pozorovaní podmienených X nie sú spojené. Ak je vzorka náhodná, autokorelácia nebude existovať.
Kde musím mať inú hodnotu ako h. Ak je vzorka náhodná, údaje a chyby pozorovania „i“ a „h“ budú nezávislé pre každú dvojicu pozorovaní „i“ a „h“.
