Kombinatorika s opakovaním sú rôzne množiny, ktoré je možné vytvoriť pomocou prvkov «n» vybraných z x v x, ktoré umožňujú ich opakovanie. Každá sada sa musí od predchádzajúcej odlišovať aspoň v jednom zo svojich prvkov (na poradí nezáleží).
V štatistike a matematike sa bežne používa kombinatorika s opakovaním. Vyhovuje mnohým situáciám v reálnom živote a jeho uplatnenie je pomerne jednoduché.
Predstavme si, že sme vo vinárstve, ktoré má 7 odrôd vína. Chceme si vybrať 3 z jeho odrôd, aby sme si mohli vybrať medzi červenou, ružovou, bielou, špeciálnou červenou, špeciálnou ružovou, špeciálnou bielou a ovocnou. Pretože sa udalosti navzájom nevylučujú, v našom výbere môžeme ktorýkoľvek z prvkov opakovať. Za týchto okolností a s uvedením niekoľkých príkladov si môžeme zvoliť červenú, červenú a špeciálne ružovú alebo ružovú, ružovú a červenú alebo bielu, bielu a ružovú.
Preto nám kombinačné s opakovaním hovorí, ako vytvoriť alebo zoskupiť konečné množstvo údajov / pozorovaní do skupín s určenou veličinou, ktoré sú schopné opakovať niektoré jeho prvky. Toto je hlavný rozdiel medzi kombinatorickým a opakovaním (prvky sa môžu opakovať pri každom výbere) a kombinatorickým bez opakovania (pri každom výbere sa nedá opakovať žiadny prvok)
Ako vypočítať kombinatoriku s opakovaním?
Vzorec na výpočet kombinatoriky s opakovaním je nasledovný:
n = celkový počet pozorovaní
x = Počet vybraných položiek
Kombinatorický príklad s opakovaním
Poďme si predstaviť, že sme v pekárni s výberom 10 rôznych koláčov. Chceme urobiť výber zo 6 koláčov, koľko kombinácií s rôznymi opakovaniami by sme mohli vytvoriť?
Najskôr identifikujeme celkové prvky, ktoré sú v tomto prípade 10 koláčov. Preto už máme svoje n (n = 10). Pretože chceme vybrať 6 koláčov z 10 možných, naše x bude 6 (x = 6). Keď to vieme, musíme použiť iba vzorec.
Na výpočet čitateľa by sme museli vypočítať faktoriál 15, čo by bolo 15 * 14 * 13… * 1 a v menovateli by sme mali faktoriál 6 (6 * 5 * 4… * 1) vynásobený faktoriálom z 9 (9 * 8 * 7 * … 1).
Náš výsledok by bol:
1.307.674.368.000,00/720*362.880 = 5.005
Vidíme, že aj keď odrody, z ktorých si môžeme vyberať, nie sú veľmi vysoké, vďaka možnosti opakovania prvkov sú kombinácie, ktoré je možné dať, obrovské.