Spojenie udalostí je operácia, ktorej výsledok sa skladá zo všetkých neopakovaných elementárnych udalostí, ktoré majú dve alebo viac množín spoločné a nie spoločné.
To znamená, že vzhľadom na dve množiny A a B by spojenie A a B tvorili všetky neopakujúce sa množiny, ktoré majú A a B. Pravdepodobnosť spojenia udalostí A a B by intuitívne znamenala reakciu na otázka: Aká je pravdepodobnosť, že vyjde A alebo že B vyjde?
Symbol pre spojenie udalostí je U. Takým spôsobom, že ak si chceme matematicky všimnúť spojenie dvoch udalostí B a D, všimli by sme si to ako: B U D.
Zovšeobecnenie únie udalostí
Doteraz sme videli a naznačili spojenie dvoch udalostí. Napríklad A U B alebo B U D. Ale čo keď máme tri, štyri, ba dokonca sto udalostí?
Toto nazývame zovšeobecnenie, to znamená vzorec, ktorý nám v týchto prípadoch pomáha všimnúť si spojenie udalostí. Ak máme 8 udalostí, namiesto napísania desiatich udalostí použijeme nasledujúcu notáciu:
Namiesto toho, aby sme každú udalosť volali A, B alebo akékoľvek písmeno, budeme volať Áno. S je udalosť a dolný index i označuje číslo. Týmto spôsobom, ktorý bude použitý na príklade 10 udalostí, nasledovné:
To, čo sme urobili, je použitie predchádzajúcej notácie a jej vývoj. Teraz to nebudeme musieť robiť vždy. Najmä pokiaľ ide o veľké množstvo udalostí.
Únia disjunktných a nedisjunktných udalostí
Koncept disjunktných udalostí naznačuje, že dve udalosti nemajú spoločné žiadne prvky.
Ak sú disjunktné, operácia spojenia udalostí je jednoduchá. Musíte iba pridať pravdepodobnosti oboch, aby ste získali pravdepodobnosť, že dôjde k jednej alebo druhej udalosti. Ak však udalosti nie sú disjunktné, je potrebné pridať malý detail. Opakované prvky musia byť vylúčené. Napríklad:
Predpokladajme, že výsledný priestor je od 1 do 5. Udalosti sú nasledujúce:
Udalosť A: (1,2,4) -> 60% pravdepodobnosť = 0,6
Udalosť B: (1,4,5) -> 60% pravdepodobnosť = 0,6
Operácia A U B by intuitívne spočívala v pridaní udalostí A a udalostí B, ale ak to urobíme, pravdepodobnosť by bola 1,2 (0,6 + 0,6). A ako naznačujú axiómy pravdepodobnosti, pravdepodobnosť musí byť vždy medzi 0 a 1. Ako to vyriešime? Odčítanie priesečníka udalostí A a B. To znamená odstránenie prvkov, ktoré sa opakujú:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Pokiaľ ide o pravdepodobnosti, museli by sme:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Pravdepodobnosť, že sa objaví 1 alebo 2 alebo 4 alebo 5. Za predpokladu, že všetky čísla majú rovnakú pravdepodobnosť výskytu, je 80%.
Graficky by to vyzeralo takto:
Vlastnosti zjednotenia udalosti
Pripojenie sa k udalosti je typ matematickej operácie. Niektoré typy operácií sú aj sčítanie, odčítanie, násobenie. Každá z nich má rad vlastností. Napríklad vieme, že výsledok pridania 3 + 4 je úplne rovnaký ako výsledok pridania 4 +3. V tomto okamihu má zväz udalostí niekoľko vlastností, ktoré stojí za to vedieť:
- Komutatívny: Znamená to, že poradie, v ktorom je napísané, nemení výsledok. Napríklad:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asociačné: Za predpokladu, že sú tri udalosti, je nám úplne jedno, ktorá z nich bude prvá a ktorá ďalšia. Napríklad:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Distribučné: Keď zahrnieme typ operácie križovatka, distribučná vlastnosť má. Stačí sa pozrieť na nasledujúci príklad:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Príklad únie udalostí
Jednoduchým príkladom spojenia dvoch udalostí A a B by bol nasledujúci príklad. Predpokladajme, že v prípade hodenia perfektnou matricou. Die, ktorý má šesť tvárí očíslovaných od 1 do 6. Týmto spôsobom sú definované udalosti nižšie:
DO: Že je väčšia ako 2. (3,4,5,6) v pravdepodobnosti je 4/6 => P (A) = 0,67
C: Nech vyjde päť. (5) v pravdepodobnosti je 1/6 => P (C) = 0,17
Aká je pravdepodobnosť A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Pretože P (A) a P (C) to už majú, budeme počítať P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) v pravdepodobnostiach P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Konečný výsledok je:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Pravdepodobnosť, že sa bude kotúľať viac ako 2 alebo že sa bude kotúľať 5, je 67%.