Čebyševova nerovnosť je veta používaná v štatistikách, ktorá poskytuje konzervatívny odhad (interval spoľahlivosti) pravdepodobnosti, že náhodná premenná s konečnou odchýlkou bude v určitej vzdialenosti od svojho matematického očakávania alebo priemeru.
Jeho formálne vyjadrenie je nasledovné:
X = Odhadovaná hodnota
µ = Matematické očakávanie odhadovanej hodnoty
Ϭ = smerodajná odchýlka očakávanej hodnoty
k = počet štandardných odchýlok
Počnúc týmto všeobecným výrazom a vývojom časti, ktorá zostáva v absolútnej hodnote, by sme mali toto:
Ak venujeme pozornosť predchádzajúcemu výrazu, je zrejmé, že časť vľavo nie je väčšia ako a interval spoľahlivosti. Toto nám ponúka dolnú aj hornú hranicu odhadovanej hodnoty. Preto nám Čebyševova nerovnosť hovorí o minimálnej pravdepodobnosti, že parameter populácie je v rámci určitého počtu štandardných odchýlok nad alebo pod priemerom. Alebo inak, dá nám to pravdepodobnosť, že parameter populácie je v tomto intervale spoľahlivosti.
Čebyševova nerovnosť poskytuje približné hranice pre odhadovanú hodnotu. Napriek určitej miere nepresnosti je to veľmi užitočná veta, pretože ju možno použiť na širokú škálu náhodných premenných bez ohľadu na ich rozdelenie. Jediným obmedzením, ktoré umožňuje túto nerovnosť, je to, že k musí byť väčšie ako 1 (k> 1).
Matematická nerovnosťPríklad uplatnenia Čebyševovej nerovnosti
Predpokladajme, že sme správcovia investičného fondu. Portfólio, ktoré spravujeme, má priemerný výnos 8,14% a štandardnú odchýlku 5,12%. Napríklad na to, aby sme vedeli, aké percento našich výnosov sú minimálne 3 štandardné odchýlky od našej priemernej ziskovosti, by sme jednoducho použili predchádzajúci vzorec výrazu 2.
k = 1,96
Nahradenie hodnoty k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
To znamená, že 73,9% výsledkov sa nachádza v intervale spoľahlivosti pri 1,96 štandardnej odchýlke od priemeru.
Urobme predchádzajúci príklad pre hodnoty iné ako k.
k = 2,46
k = 3
Nahradenie hodnoty k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Nahradenie hodnoty k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Existuje 83,5% údajov, ktoré sú vo vzdialenosti 2,46 štandardných odchýlok od priemeru a 88,9%, ktoré sú v rozmedzí 3 štandardných odchýlok od priemeru.
Pomocou Čebyševovej nerovnosti možno ľahko odvodiť, že čím vyššia je hodnota K (čím väčšia je odchýlka odhadovanej hodnoty od jej priemeru), tým väčšia je pravdepodobnosť, že sa náhodná premenná nachádza v ohraničenom intervale.
KurtosisCentrálna limitná vetaNerovnosť