Nestranný odhad - čo to je, definícia a koncept

Nestranný odhad je taký, ktorého matematické očakávanie sa zhoduje s hodnotou parametra, ktorý chcete odhadnúť. Ak sa nezhodujú, predpokladá sa, že odhad má zaujatosť.

Dôvodom hľadania nezaujatého odhadcu je, že parameter, ktorý chceme odhadnúť, je dobre odhadnutý. Inými slovami, ak chceme odhadnúť priemerné góly na zápas určitého futbalistu, musíme použiť vzorec, ktorý nám dá hodnotu čo najbližšiu skutočnej hodnote.

V prípade, že sa očakávanie odhadcu nezhoduje so skutočnou hodnotou parametra, je predpoklad, že odhad má predpätie. Predpätie sa meria ako rozdiel medzi očakávanou hodnotou odhadcu a skutočnou hodnotou. Matematicky možno poznamenať nasledovne:

Z vyššie uvedeného vzorca je zrejmá prvá a posledná časť. To znamená, že očakávanie odhadcu sa rovná skutočnej hodnote parametra. Ak táto rovnosť platí, potom je odhad nestranný. Matematicky abstraktnejšia stredná časť je vysvetlená v nasledujúcom odseku.

Priemer všetkých odhadov, ktoré môže odhadca vykonať pre každú inú vzorku, sa rovná parametru. Napríklad, ak máme 30 rôznych vzoriek, je normálne, že v každej vzorke ponúka odhadca (aj keď len mierne) odlišné hodnoty. Ak vezmeme priemer z 30 hodnôt odhadcu v 30 rôznych vzorkách, potom by mal odhadca vrátiť hodnotu rovnajúcu sa skutočnej hodnote parametra.

Predpojatosť odhadcu

Na výpočet určitého parametra sa nedá vždy nájsť nestranný odhad. Náš odhad môže byť teda zaujatý. To, že má odhad zaujatosť, ešte neznamená, že je neplatné. Znamená to jednoducho, že to nesedí tak dobre, ako by sme štatisticky chceli.

To znamená, že aj keď to nesedí tak dobre, ako by sme chceli, niekedy nám nezostáva nič iné, ako použiť zaujatý odhad. Preto je životne dôležité, aby sme poznali veľkosť tohto skreslenia. Ak o tom vieme, môžeme tieto informácie použiť v záveroch nášho vyšetrovania. Matematicky je predpätie definované takto:

Vo vyššie uvedenom vzorci je predpätie nenulová hodnota. Ak by bola nula, potom by bol odhadca nezaujatý.

Príklad nezaujatého odhadcu

Príklad nezaujatého odhadcu sa nachádza v odhadcovi strednej hodnoty. Tento odhad je v štatistikách známy ako priemer vzorky. Ak použijeme matematický vzorec popísaný na začiatku, dospejeme k záveru, že priemer vzorky je nestranný odhadca. Pred uvedením do prevádzky musíme vziať do úvahy nasledujúce informácie:

Označíme X čiarkou nad priemerom vzorky.

Vzorec pre výberový priemer je súčtom n hodnôt, ktoré sme vydelili počtom hodnôt. Ak máme 20 údajov, n sa bude rovnať 20. Budeme musieť pridať hodnoty z 20 údajov a vydeliť ich 20.

Vyššie uvedený zápis znamená očakávanie alebo očakávanú hodnotu priemeru vzorky. Hovorovo by sme mohli povedať, že sa počíta ako stredná hodnota strednej hodnoty vzorky. Z tohto dôvodu môžeme pomocou správnych matematických postupov odvodiť nasledujúce:

Očakávanie odhadcu sa zhoduje s „mu“, čo je skutočná hodnota parametra. To znamená, skutočný priemer. Všetko je povedané, niektoré základné pojmy o matematike sú potrebné na pochopenie predchádzajúceho vývoja.

Podobne by sme sa mohli pokúsiť o to isté s odhadcom rozptylu vzorky. V nasledujúcom príklade je S štvorcový rozptyl vzorky a grécke písmeno sigma (ktoré vyzerá ako písmeno o s páčkou vpravo) je skutočným rozptylom.

Rozdiel od vyššie uvedeného vzorca je druhá časť prvého vzorca. Menovite:

Dospeli sme k záveru, že odchýlka vzorky ako odhad populačnej odchýlky je skreslená. Jeho predpätie sa rovná hodnote uvedenej vyššie. Závisí to teda od rozptylu populácie a veľkosti vzorky (n). Upozorňujeme, že ak je n (veľkosť vzorky) veľmi veľké, predpätie má tendenciu k nule.

Ak, keď má vzorka tendenciu byť veľmi veľká, odhadca sa blíži k skutočnej hodnote parametra, potom hovoríme o asymptoticky nezaujatom odhadcovi.