Konečné množiny - čo to je, definícia a koncept

Konečné množiny sú tie, ktorých mohutnosť alebo počet prvkov v nej sa rovná prirodzenému počtu.

Konečná množina, inými slovami, je taká, ktorá obsahuje množstvo prvkov, ktoré sa dajú spočítať. Je opakom nekonečnej množiny, kde sú prvky nespočetné.

Formálnejším spôsobom vyjadrenia, že množina je konečná, je to, že prvky tejto množiny, ktoré budeme nazývať M, je možné spárovať s prvkami množiny (1, 2, …, n), ktoré budeme nazývať N. Toto je postupnosť celých čísel, kde sa každý prvok rovná predchádzajúcemu plus jednotka.

Prvky M a N teda možno spárovať jeden po druhom (čo je známe ako vzájomná korešpondencia) bez toho, aby sa vynechal akýkoľvek prvok z týchto dvoch množín.

Tiež sa hovorí, že M a N sú ekvipotentné, to znamená, že pre každý prvok M existuje prvok N.

Ďalej sa číslo n (najväčší prvok množiny N) zhoduje s počtom prvkov M, kde n je kardinál, mohutnosť alebo mocnina N a jeho zápis je karta (N), | N | alebo #N.

Príklady konečných množín

Niektoré príklady konečných množín by boli tieto:

• Nepárne celé čísla väčšie ako 13 a menšie ako 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
• Oceány Zeme: Atlantický, Tichý, Indický, Arktický, Antarktický
• Zoznam dvadsiatich študentov, ktorí patria do triedy.

Vlastnosti konečných množín

Medzi hlavné vlastnosti konečných množín patria tie, ktoré sú vystavené nižšie:

• Výsledkom spojenia dvoch alebo viacerých konečných množín je konečná množina.
• Priesečník (spoločné prvky) konečnej množiny s jednou alebo viacerými množinami je konečný.
• Podmnožina konečnej množiny je tiež konečná.
• Podskupina C konečnej množiny M sa vyznačuje tým, že má menší počet prvkov ako M. To znamená, že platí: Ak C ⊊ M a | M | = n, potom | C | <n (Symbol ⊊ znamená, že C je vlastná podmnožina M. To znamená, že všetky prvky C sú obsiahnuté v M, ale existuje aspoň jeden prvok M, ktorý nie je v C).
• Výkonová sada konečnej množiny M, ktorá obsahuje všetky podmnožiny, ktoré sa dajú vytvoriť s prvkami množiny M (vrátane prázdnej množiny alebo ∅), je konečná a má 2ⁿ prvkov, kde n je počet prvkov v M. Napríklad, ak máme:

(1, 3, 41)

Sada napájania by bola: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))

Ako vidíme, výkonová sada konečnej množiny troch prvkov má osem (2³) prvky.