Inflexný bod matematickej funkcie je bod, v ktorom graf, ktorý ju reprezentuje, mení svoju konkávnosť. To znamená, že ide z konkávneho do konvexného alebo naopak.
Inflexný bod, inými slovami, je ten okamih, keď funkcia zmení trend.
Ak chcete získať predstavu, začnime tým, že sa na ňu pozrieme v grafickom znázornení zhruba:
Je potrebné poznamenať, že funkcia môže mať viac ako jeden inflexný bod alebo vôbec. Napríklad čiara nemá inflexný bod.
Pozrime sa v nasledujúcom grafe na príklad funkcie s viac ako jedným inflexným bodom:
Matematicky sa tiež inflexný bod počíta tak, že sa druhá derivácia funkcie nastaví na nulu. Riešime teda pre koreň (alebo korene) tejto rovnice a nazvime ju Xi.
Potom nahradíme Xi v tretej derivácii funkcie. Ak je výsledok iný ako nula, čelíme inflexnému bodu.
Ak je však výsledok nulový, musíme nahradiť v postupných deriváciách, kým sa hodnota tejto derivácie, či už je to tretia, štvrtá alebo piata, odlišná od 0. Ak je derivácia nepárna, jedná sa o inflexný bod, ale ak je dokonca nie.
Príklad bodu obratu
Ďalej sa pozrime na príklad.
Predpokladajme, že máme nasledujúcu funkciu:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ‘= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Potom nahradíme Xi v tretej derivácii:
y »‘ = 48x
y »‘ = 48x-1,25 = -60
Pretože výsledok je odlišný od nuly, ocitli sme sa pred inflexným bodom, ktorý by bol, keď x sa rovná -1,25 a y sa rovná -2,1328, ako ukazuje nasledujúci graf.
Z tohto vyplýva, že funkcia má inflexný bod:
Teraz sa pozrime na ďalší príklad:
y = x4-54x2
y ‘= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
X2=9
Xi = 3 a -3
Potom nahradíme dva korene nájdené v tretej derivácii:
y »‘ = 24-krát
y »‘ = 24 × 3 = 72
y »‘ = 24x-3 = -72
Pretože výsledok je nenulový, máme dva inflexné body na (3,567) a (-3,567).
Ak chcete doplniť tieto informácie, pozývame vás na návštevu inflexneho článku, kde sa tejto koncepcii venujeme všeobecnejšie:
Definícia skloňovania