Inflexný bod - čo to je, definícia a koncept

Inflexný bod matematickej funkcie je bod, v ktorom graf, ktorý ju reprezentuje, mení svoju konkávnosť. To znamená, že ide z konkávneho do konvexného alebo naopak.

Inflexný bod, inými slovami, je ten okamih, keď funkcia zmení trend.

Ak chcete získať predstavu, začnime tým, že sa na ňu pozrieme v grafickom znázornení zhruba:

Je potrebné poznamenať, že funkcia môže mať viac ako jeden inflexný bod alebo vôbec. Napríklad čiara nemá inflexný bod.

Pozrime sa v nasledujúcom grafe na príklad funkcie s viac ako jedným inflexným bodom:

Matematicky sa tiež inflexný bod počíta tak, že sa druhá derivácia funkcie nastaví na nulu. Riešime teda pre koreň (alebo korene) tejto rovnice a nazvime ju Xi.

Potom nahradíme Xi v tretej derivácii funkcie. Ak je výsledok iný ako nula, čelíme inflexnému bodu.

Ak je však výsledok nulový, musíme nahradiť v postupných deriváciách, kým sa hodnota tejto derivácie, či už je to tretia, štvrtá alebo piata, odlišná od 0. Ak je derivácia nepárna, jedná sa o inflexný bod, ale ak je dokonca nie.

Príklad bodu obratu

Ďalej sa pozrime na príklad.

Predpokladajme, že máme nasledujúcu funkciu:

y = 2x⁴+ 5x³+ 9x + 14

y ‘= 8x³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Potom nahradíme Xi v tretej derivácii:

y »‘ = 48x

y »‘ = 48x-1,25 = -60

Pretože výsledok je odlišný od nuly, ocitli sme sa pred inflexným bodom, ktorý by bol, keď x sa rovná -1,25 a y sa rovná -2,1328, ako ukazuje nasledujúci graf.

Z tohto vyplýva, že funkcia má inflexný bod:

Teraz sa pozrime na ďalší príklad:

y = x⁴-54x²

y ‘= 4x³-108x

y »= 12x²-108=0

X²=9

Xi = 3 a -3

Potom nahradíme dva korene nájdené v tretej derivácii:

y »‘ = 24-krát

y »‘ = 24 × 3 = 72

y »‘ = 24x-3 = -72

Pretože výsledok je nenulový, máme dva inflexné body na (3,567) a (-3,567).

Ak chcete doplniť tieto informácie, pozývame vás na návštevu inflexneho článku, kde sa tejto koncepcii venujeme všeobecnejšie: