Funkčné rovnice - čo to je, definícia a pojem

Funkčné rovnice sú tie, ktoré majú inú funkciu ako neznámu. Funkcia, ktorá môže byť spojená s algebraickou operáciou, ako je sčítanie, odčítanie, delenie, násobenie, mocniny alebo root.

Aj funkčné rovnice možno definovať ako rovnice, ktoré nie je možné ľahko rozlíšiť na algebraickú funkciu typu f (x) = 0.

Charakteristické sú funkčné rovnice, pretože neexistuje jediný spôsob ich riešenia. Okrem toho môže mať príslušná premenná rôzne hodnoty (uvidíme to na príkladoch).

Príklady funkčných rovníc

Niektoré príklady funkčných rovníc sú:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ a²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

V prípadoch, ako sú tie predchádzajúce, je možné pridať napríklad to, že x patrí do množiny reálnych čísel, to znamená x ∈ R (nulu možno vylúčiť).

Príklady funkčných rovníc

Pozrime sa na niekoľko príkladov vyriešených funkčných rovníc:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Takže ak nahradím x 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Teraz sa pozrime na ďalší príklad s trochu väčšími ťažkosťami, kde však budeme postupovať podobným spôsobom:

X²f (x) -f (5-x) = 3x… (1)

V tomto prípade najskôr vyriešime f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x… (2)

Teraz v rovnici 1 nahradím x znakom 5-x:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25 - 10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Pamätáme si, že f (5-x) je v rovnici 2:

(25 - 10x + x²). (X²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Cauchyho funkčná rovnica

Cauchyova funkčná funkcia je jednou z najzákladnejších svojho druhu. Táto rovnica má nasledujúcu formu:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Za predpokladu, že x a y sú v množine racionálnych čísel, riešenie tejto rovnice nám hovorí, že f (x) = cx, kde c je ľubovoľná konštanta, a to isté sa deje s f (y).