Funkčné rovnice sú tie, ktoré majú inú funkciu ako neznámu. Funkcia, ktorá môže byť spojená s algebraickou operáciou, ako je sčítanie, odčítanie, delenie, násobenie, mocniny alebo root.
Aj funkčné rovnice možno definovať ako rovnice, ktoré nie je možné ľahko rozlíšiť na algebraickú funkciu typu f (x) = 0.
Charakteristické sú funkčné rovnice, pretože neexistuje jediný spôsob ich riešenia. Okrem toho môže mať príslušná premenná rôzne hodnoty (uvidíme to na príkladoch).
Príklady funkčných rovníc
Niektoré príklady funkčných rovníc sú:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ a2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
V prípadoch, ako sú tie predchádzajúce, je možné pridať napríklad to, že x patrí do množiny reálnych čísel, to znamená x ∈ R (nulu možno vylúčiť).
Príklady funkčných rovníc
Pozrime sa na niekoľko príkladov vyriešených funkčných rovníc:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Takže ak nahradím x 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Teraz sa pozrime na ďalší príklad s trochu väčšími ťažkosťami, kde však budeme postupovať podobným spôsobom:
X2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
V tomto prípade najskôr vyriešime f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Teraz v rovnici 1 nahradím x znakom 5-x:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25 - 10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Pamätáme si, že f (5-x) je v rovnici 2:
(25 - 10x + x2). (X2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchyho funkčná rovnica
Cauchyova funkčná funkcia je jednou z najzákladnejších svojho druhu. Táto rovnica má nasledujúcu formu:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Za predpokladu, že x a y sú v množine racionálnych čísel, riešenie tejto rovnice nám hovorí, že f (x) = cx, kde c je ľubovoľná konštanta, a to isté sa deje s f (y).