Vlastnosti očakávaných hodnôt

Očakávaná hodnota náhodnej premennej je koncept analogický s matematickou algebrou, ktorý uvažuje o aritmetickom priemere súboru pozorovaní uvedenej premennej.

Inými slovami, očakávaná hodnota náhodnej premennej je hodnota, ktorá sa objavuje najčastejšie pri opakovaní experimentu mnohokrát.

Vlastnosti očakávaných hodnôt náhodnej premennej

Očakávaná hodnota náhodnej premennej má tri vlastnosti, ktoré rozvinieme nižšie:

Nehnuteľnosť 1

Pre každú konštantu g bude očakávaná hodnota tejto konštanty vyjadrená ako E (g) a bude rovnakou konštantou g. Matematicky:

E (g) = g

Pretože g je konštanta, to znamená, že nezávisí od žiadnej premennej, jej hodnota zostane rovnaká.

Príklad

Aká je očakávaná hodnota 1? Inými slovami, akú hodnotu priradíme číslu 1?

E (1) =?

Presne, priradíme hodnotu 1 k číslu 1 a jej hodnota sa nezmení bez ohľadu na to, ako roky ubiehajú alebo dôjde k prírodným katastrofám. Máme teda do činenia s konštantnou premennou, a preto:

E (1) = 1 alebo E (g) = g

Môžu skúsiť iné čísla.

Nehnuteľnosť 2

Pre každú konštantu h a k sa očakávaná hodnota priamky h · X + k bude rovnať konštante h vynásobenej očakávaním náhodnej premennej X plus konštante k. Matematicky:

E (h X + k) = h E (X) + k

Pozri sa pozorne, nepripomína ti to veľmi slávnu postupku? Presne, regresná priamka.

Ak nahradíme:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Mať:

Y = B₀ + B₁X

Keď sa odhadnú koeficienty B.₀ , B₁ , teda B₀ , B₁ , zostávajú rovnaké pre celú vzorku. Aplikujeme teda nehnuteľnosť 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Tu tiež nájdeme vlastnosť nezaujatosti, to znamená, že očakávaná hodnota odhadcu sa rovná jeho hodnote populácie.

Keď sa vrátime k E (h · X + k) = h · E (X) + k, je treba mať na pamäti, že Y je E (h · X + k) pri vyvodzovaní záverov z regresných čiar. Inými slovami by sa dalo povedať, že keď sa X zvýši o jednu, Y sa zvýši o polovica h jednotky, pretože Y je očakávaná hodnota priamky h · X + k.

Nehnuteľnosť 3

Ak H je vektor konštánt a X je vektor náhodných premenných, potom možno očakávanú hodnotu vyjadriť ako súčet očakávaných hodnôt.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Ahoj₁X₁ + h₂X₂ + … + H_nX_n) = h₁· BÝVALÝ₁) + h₂· BÝVALÝ₂) + … + H_n· BÝVALÝ_n)

Vyjadrené sumami:

Táto vlastnosť je veľmi užitočná pre derivácie v oblasti matematickej štatistiky.