Black-Scholesov model je vzorec používaný na ocenenie ceny finančnej opcie. Tento vzorec je založený na teórii stochastických procesov.
Model Black-Scholes vďačí za svoje meno dvom matematikom, ktorí ho vyvinuli, Fisherovi Blackovi a Myronovi Scholesovi. Spoločnosť Black-Scholes sa pôvodne používala na oceňovanie nedividendových opcií. Alebo čo je rovnaké, pokúsiť sa vypočítať, aká by mala byť „spravodlivá“ cena finančnej možnosti. Neskôr sa výpočet rozšíril o všetky druhy možností.
Tento model získal Nobelovu cenu za ekonómiu v roku 1997. Týmto spôsobom sa stal jedným zo základných pilierov modernej finančnej teórie. Mnoho analytikov používa túto metódu na posúdenie toho, aká by mala byť vhodná cena pre finančnú možnosť.
Predpoklady modelu Black-Scholes
Pred vstupom do vzorca a následným výpočtom je potrebné urobiť niekoľko úvah o modeli. Niektoré počiatočné predpoklady, ktoré model zohľadňuje a ktoré uvedieme nižšie:
- Neexistujú žiadne transakčné náklady ani dane.
- Bezriziková úroková sadzba je konštantná pre všetky splatnosti.
- Akcia neplatí dividendy.
- Prchavosť zostáva konštantná.
- Krátky predaj je povolený.
- Neexistujú žiadne príležitosti na arbitráž bez rizika.
- Predpokladajme, že rozdelenie pravdepodobnosti výnosov je normálne rozdelenie.
Black-Scholesov vzorec
Black-Scholesov cenový vzorec pre opcie je vyjadrený takto:
Ste pripravení investovať na trhoch?
Jeden z najväčších sprostredkovateľov na svete, eToro, sprístupnil investície na finančných trhoch. Teraz môže ktokoľvek investovať do akcií alebo nakupovať zlomky akcií s 0% províziou. Začnite investovať hneď teraz s vkladom iba 200 dolárov. Pamätajte, že je dôležité trénovať investovanie, ale dnes to samozrejme môže urobiť každý.
Váš kapitál je ohrozený. Môžu sa účtovať ďalšie poplatky. Viac informácií nájdete na stocks.eToro.com
Chcem investovať s Etorom
Kde:
- C = Kúpna cena opcie dnes (T = 0) v eurách.
- T = obdobie do splatnosti v rokoch (3 mesiace = 0,25 roka).
- r = úroková sadzba bez rizika. Ziskovosť štátneho dlhu rovnako na jedného
- sigma = volatilita podľa jedného.
- X = Realizačná cena možnosti nákupu v eurách.
- S = Cena akcie v T = 0 v eurách.
- N (dl a d2) = Hodnota funkcie kumulatívnej pravdepodobnosti normálneho rozdelenia s nulovým priemerom a jednou štandardnou odchýlkou.
Príklad výpočtu Black-Scholes
Predpokladajme, že chceme vypočítať hodnotu kúpnej opcie, ktorej platnosť má uplynúť 3 mesiace, s realizačnou cenou 40 eur. Cena akcie je 50 eur. Ročná volatilita je 30% (0,3). A 3-mesačná bezriziková úroková sadzba je 10%. Akcia nasledujúce tri mesiace nevypláca dividendy.
Preto:
- C = Kúpna cena opcie dnes (T = 0) v eurách.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 eur.
- S = 50 eur.
Vypočítame d1 a d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (dl) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Mimochodom, na získanie posledných hodnôt d1 a d2 je potrebné použiť pravdepodobnostné tabuľky.
Keď máme všetky údaje, dosadíme ich do pôvodného vzorca:
Podľa Black-Scholes je teda primeraná cena za našu call opciu 11 123 eur.
Obmedzenia modelu Black-Scholes
Aj keď model Black-Scholes ponúka vynikajúce riešenie problému výpočtu primeranej ceny opcie, má určité obmedzenia.
Je to model, teda adaptácia reality. Preto ako adaptácia na realitu ju nereprezentuje ideálne. Black-Scholes počíta cenu za opcie, ktoré je možné uplatniť alebo vyrovnať iba po uplynutí doby platnosti. Americké opcie je však možné využiť pred vypršaním platnosti. Okrem toho tiež predpokladá, že akcie nevyplácajú dividendy. A že bezriziková miera aj volatilita sú konštantné. Čo však tiež neplatí v skutočnosti, pretože veľa akcií vypláca dividendy. Nakoniec sa volatilita a bezrizikové sadzby časom menia, takže ani tento predpoklad nie je pravdivý.
Matematický model
