Kurtosis je štatistické opatrenie, ktoré určuje stupeň koncentrácie, ktorý majú hodnoty premennej okolo centrálnej zóny frekvenčného rozdelenia. Je tiež známe ako cieľové opatrenie.
Keď zmeriame náhodnú premennú, výsledky s najvyššou frekvenciou sú vo všeobecnosti tie, ktoré sú okolo priemeru distribúcie. Poďme si predstaviť výšku študentov v triede. Ak je priemerná výška triedy 1,72 cm, najbežnejšie je, že výšky ostatných študentov sú okolo tejto hodnoty (s určitou mierou variability, ale bez toho, aby boli príliš veľké). Ak k tomu dôjde, distribúcia náhodnej premennej sa považuje za normálne rozdelenú. Ale vzhľadom na nekonečnosť premenných, ktoré je možné merať, to tak nie je vždy.
Existujú niektoré premenné, ktoré prezentujú vyšší stupeň koncentrácie (menší rozptyl) hodnôt okolo svojej strednej hodnoty a iné naopak vykazujú nižší stupeň koncentrácie (väčší rozptyl) svojich hodnôt okolo svojej centrálnej hodnoty. Preto nás kurtosis informuje o tom, aká je distribúcia špicatá (vyššia koncentrácia) alebo sploštená (nižšia koncentrácia).
Opatrenia centrálnej tendencieKumulatívna frekvenciaDruhy špičatosti
V závislosti od stupňa špičatosti máme tri typy distribúcií:
1. Leptokurtic: Okolo ich priemeru je veľká koncentrácia hodnôt (napr2>3)
2. mezocúrické: Okolo ich priemeru je normálna koncentrácia hodnôt (napr2=3).
3. Platicúrtica: Okolo ich priemeru je nízka koncentrácia hodnôt (napr2<3).
Merania kurtózy podľa údajov
V závislosti od zoskupenia údajov alebo bez nich sa používa ten či onen vzorec.
Nezoskupené údaje:
Údaje zoskupené v tabuľkách frekvencií:
Údaje zoskupené v intervaloch:
Príklad výpočtu špičatosti pre nezoskupené údaje
Predpokladajme, že chceme vypočítať špičatosť nasledujúcej distribúcie:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Najprv vypočítame aritmetický priemer (µ), ktorý by bol 7,69.
Ďalej vypočítame štandardnú odchýlku, ktorá by bola 2,43.
Po získaní týchto údajov a pre uľahčenie výpočtu je možné vytvoriť tabuľku na výpočet časti čitateľa (štvrtý okamih distribúcie). Pre prvý výpočet by to bolo: (Xi-µ) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Údaje | (Xi-u) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Keď už máme túto tabuľku hotovú, museli by sme jednoducho použiť vzorec, ktorý sme predtým vystavili, aby sme dosiahli špičatosť.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
V tomto prípade od g2 je väčšie ako 3, distribúcia by bola leptokurtická, čo predstavuje lepšie ukazovanie ako normálne rozdelenie.
Prebytočná kurtóza
V niektorých príručkách je kurtóza prezentovaná ako nadmerná kurtóza. V takom prípade sa priamo porovnáva s normálnym rozdelením. Pretože normálne rozdelenie má kurtozu 3, na získanie prebytku by sme od nášho výsledku museli odčítať iba 3.
Prebytočná kurtóza = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Interpretácia výsledku bude v tomto prípade nasledovná:
g2-3> 0 -> leptokurtická distribúcia.
g2-3 = 0 -> mezokortikálna (alebo normálna) distribúcia.
g2-3 platicúrické rozdelenie.
Deskriptívna štatistika