Vlastnosti odhadov sú vlastnosti, ktoré môžu mať, a ktoré slúžia na výber tých, ktoré sú schopné poskytnúť dobré výsledky.
Na začiatok definovaním konceptu odhadcu povieme, že pri ľubovoľnej náhodnej vzorke (x1, X2, X3,…, Xn) odhad predstavuje populáciu, ktorá závisí od φ parametra, ktorý nepoznáme.
Tento parameter, ktorý označujeme gréckym písmenom fi (φ), môže byť napríklad priemerom ľubovoľnej náhodnej premennej.
Matematicky odhad jedného parametra Q závisí od náhodných pozorovaní vo vzorke (x1, X2, X3,…, Xn) a známa funkcia (h) vzorky. Odhadcom (Q) bude náhodná premenná, pretože závisí od vzorky, ktorá obsahuje náhodné premenné.
Q = h (x1, X2, X3,…, Xn)
Nestrannosť odhadcu
Q odhad φ je nestranný odhad, ak E (Q) = φ pre všetky možné hodnoty φ. Definujeme E (Q) ako očakávanú hodnotu alebo očakávanie odhadcu Q.
V prípade zaujatých odhadov by toto skreslenie bolo reprezentované ako:
Predpätie (Q) = E (Q) - φ
Vidíme, že odchýlka predstavuje rozdiel medzi očakávanou hodnotou odhadcu E (Q) a skutočnou hodnotou populačného parametra φ.
Bodový odhadEfektívnosť odhadcu
Áno Q1 a Q2 sú dva nezaujaté odhady φ, ich vzťah s Q bude efektívny2 keď Var (Q1) ≤ Var (Q2) pre ľubovoľnú hodnotu φ, pokiaľ je štatistická vzorka φ striktne väčšia ako 1, n> 1. Kde Var je rozptyl an je veľkosť vzorky.
Intuitívne povedané, za predpokladu, že máme dva odhady s nezaujatou vlastnosťou, môžeme povedať, že jeden (Q1) je účinnejší ako iný (Q2) ak je variabilita výsledkov jedného (Q1) je menší ako u druhého (Q2). Je logické si myslieť, že jedna vec, ktorá sa líši viac ako iná, je menej „presná“.
Toto kritérium preto môžeme na výber odhadov použiť iba vtedy, keď sú nestranné. V predchádzajúcom tvrdení, keď definujeme účinnosť, už predpokladáme, že odhady musia byť nestranné.
Na porovnanie odhadov, ktoré nie sú nevyhnutne nestranné, to znamená, že môže existovať zaujatosť, sa odporúča vypočítať strednú štvorcovú chybu (MSE) odhadov.
Ak je Q odhadom φ, potom je ECM pre Q definované ako:
Stredná štvorcová chyba (MSE) počíta priemernú vzdialenosť, ktorá existuje medzi očakávanou hodnotou odhadcu vzorky Q a odhadom populácie. Kvadratická forma ECM je spôsobená skutočnosťou, že chyby môžu byť štandardne záporné alebo nadmerné kladné s ohľadom na očakávanú hodnotu. Týmto spôsobom bude ECM vždy počítať kladné hodnoty.
ECM závisí od rozptylu a zaujatosti (ak existujú), čo nám umožňuje porovnať dva odhady, keď je jeden alebo oba skreslené. Ten, ktorého NDE je väčší, bude chápaný ako menej presný (má viac chýb), a teda menej efektívny.
Konzistentnosť odhadcu
Konzistencia je asymptotická vlastnosť. Táto vlastnosť sa podobá vlastnosti efektívnosti s tým rozdielom, že konzistencia meria pravdepodobnú vzdialenosť medzi hodnotou odhadcu a skutočnou hodnotou parametra populácie, keď sa veľkosť vzorky zvyšuje na neurčito. Toto neurčité zväčšenie veľkosti vzorky je základom asymptotickej vlastnosti.
Na vykonanie asymptotickej analýzy existuje minimálny rozmer vzorky (pri zvyšovaní vzorky skontrolujte konzistenciu odhadcu). Veľké aproximácie vzoriek fungujú dobre pri vzorkách asi 20 pozorovaní (n = 20). Inými slovami, chceme vidieť, ako sa chová odhadca, keď zväčšujeme vzorku, ale toto zväčšenie má sklon k nekonečnu. Vzhľadom na to urobíme aproximáciu a z 20 pozorovaní vo vzorke (n ≥ 20) je vhodná asymptotická analýza.
Matematicky definujeme Q1n ako odhad φ z ľubovoľnej náhodnej vzorky (x1, X2, X3,…, Xn) veľkosti (n). Môžeme teda povedať, že Qn je konzistentný odhadca φ, ak:
Toto nám hovorí, že rozdiely medzi odhadcom a jeho populačnou hodnotou | Qn - φ |, musia byť väčšie ako nula. Vyjadrujeme to v absolútnej hodnote. Pravdepodobnosť tohto rozdielu má tendenciu k 0 (zmenšuje sa a zmenšuje sa), keď veľkosť vzorky (n) má tendenciu k nekonečnu (zväčšuje sa a zväčšuje sa).
Inými slovami, je čoraz menej pravdepodobné, že Qn keď sa veľkosť vzorky zväčšuje, pohybuje sa príliš ďaleko od φ.