Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré modeluje frekvenciu určitých udalostí počas pevne stanoveného časového intervalu na základe priemernej frekvencie výskytu týchto udalostí.
Inými slovami, Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, že iba keď poznáme udalosti a ich priemernú frekvenciu výskytu, môžeme poznať ich pravdepodobnosť.
Poissonov distribučný výraz
Vzhľadom na diskrétnu náhodnú premennú X hovoríme, že jej frekvenciu je možné uspokojivo priblížiť k Poissonovmu rozdeleniu, takže:
Na rozdiel od normálneho rozdelenia Poissonovo rozdelenie závisí iba od jedného parametra mu (označeného žltou farbou).
Mu hlási očakávaný počet udalostí, ktoré sa vyskytnú v nastavenom časovom intervale. Keď hovoríme o niečom „očakávanom“, musíme to presmerovať, aby sme mysleli na priemer. Preto je mu priemerná hodnota frekvencie udalostí.
Priemer aj rozptyl tohto rozdelenia sú veľmi prísne pozitívne.
Zastúpenie
Vzhľadom na Poissonovo rozdelenie s priemerom 2 je rozdelenie pravdepodobnosti hustoty nasledovné:
Funkcia je definovaná iba na celočíselných hodnotách x.
Nie všetky rozdelenia pravdepodobnosti Poissonovej hustoty budú vyzerať rovnako, aj keď vzorku ponecháme rovnako. Ak zmeníme stred, teda parameter, od ktorého závisí funkcia, zmení sa aj funkcia.
Funkcia hustoty pravdepodobnosti (pdf)
Táto funkcia sa chápe ako pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne konkrétnu hodnotu x. Je to exponenciál záporného priemeru vynásobený priemerom zvýšeným k pozorovaniu a všetko vydelený faktoriálom pozorovania.
Ako je uvedené, aby sme vedeli pravdepodobnosť každého pozorovania, budeme musieť vo funkcii nahradiť všetky pozorovania. Inými slovami, x je vektor dimenzie n, ktorý obsahuje všetky pozorovania náhodnej premennej X. Stredom by bol tiež vektor, ale jednej dimenzie, taký, že:
Keď máme vypočítané pravdepodobnosti, spolu s pozorovaniami môžeme nakresliť rozdelenie hustoty pravdepodobnosti.
Príbeh
Názov tejto distribúcie pochádza od jej tvorcu, francúzskeho matematika a filozofa Siméon-Denisa Poissona (1781-1840), ktorý chcel modelovať frekvenciu udalostí v pevnom časovom intervale. Podieľal sa tiež na zdokonaľovaní zákona veľkého počtu.
App
Poissonovo rozdelenie sa používa v oblasti operačného rizika na modelovanie situácií, v ktorých dôjde k prevádzkovej strate. V prípade trhového rizika sa Poissonov proces používa na čakacie doby medzi finančnými transakciami vo vysokofrekvenčných databázach. Pri modelovaní počtu bankrotov sa zohľadňuje aj kreditné riziko.
Príklad
Predpokladáme, že sme v zimnej sezóne a chceme sa lyžovať pred decembrom. Pravdepodobnosť otvorenia lyžiarskych stredísk do decembra je 5%. Zo 100 lyžiarskych stredísk chceme vedieť pravdepodobnosť, že najbližšie lyžiarske stredisko otvoria do decembra. Hodnotenie tohto lyžiarskeho strediska je 6 bodov.
Vstupy potrebné na výpočet funkcie pravdepodobnosti Poissonovej hustoty sú množina údajov a mu:
- Súbor údajov = 100 lyžiarskych stredísk.
- Mu = 5% * 100 = 5 je očakávaný počet lyžiarskych stredísk s ohľadom na súbor údajov.
Najbližšia stanica má teda 14,62% pravdepodobnosť, že sa otvorí do decembra.
Pravdepodobnosť frekvencie