Konvexné - čo to je, definícia a koncept
Termín konvexný sa používa na označenie povrchu, ktorý vykazuje zakrivenie, pričom jeho stred je stranou s najväčším významom.
Preto hovoríme, že interiér gule alebo trampolíny (ako je tá, na ktorú sa hrajú deti) je konvexný. Je to tak kvôli skutočnosti, že jeho stredná časť predstavuje väčší pokles.
Je možné analyzovať, či sú geometrické obrazce konvexné, napríklad v prípade paraboly je to tvar U.
Vyučovacím trikom na zapamätanie konvexnosti je myslieť si, že tvar konvexnej krivky má tvar smajlíka.
Navyše, aj keď sme vlastnosť konvexity označili ako niečo, čo má krivku, je použiteľná aj pre matematické funkcie a polygóny, ako uvidíme ďalej.
Ako zistiť, či je funkcia konvexná?
Ak je druhá derivácia funkcie v bode väčšia ako nula, potom je funkcia v tomto bode konvexná v grafickom znázornení.
Vyššie uvedené je formálne vyjadrené takto:
f »(x)> 0
Napríklad funkcia f (x) = x2 + x + 3. Jeho prvá derivácia f '(x) = 2x +1 a druhá derivácia f »(x) = 2. Preto funkcia f (x) = x2 + x + 3 je konvexné pre akúkoľvek hodnotu x, ako vidíme na obrázku nižšie, čo je parabola:
Teraz si predstavme túto ďalšiu funkciu f (x) = - x3 + x2 + 3. Jeho prvá derivácia f '(x) = -3x2 + 2x a jeho druhá derivácia f »(x) = -6x + 2. Keď máme druhú deriváciu vypočítanú, musíme skontrolovať, aké hodnoty x má funkcia f (x) = -x3 + x2 + 3 je konvexná.
Nastavili sme teda druhú deriváciu na 0:
f »(x) = -6x + 2 = 0
6x = 2
x = 0,33
Preto je funkcia konvexná, keď x je menšie ako 0,33, pretože druhá derivácia rovnice je kladná. Môžeme to skontrolovať nahradením rôznych hodnôt x. Rovnako je funkcia konkávna, keď x je väčšie ako 0,33, ako vidíme na grafe nižšie.
Konvexný mnohouholník
Konvexný mnohouholník je taký, kde je pravda, že dva body, ľubovoľný z obrázku, možno spojiť priamkou, ktorá vždy zostane v polygóne. Všetky vnútorné uhly sú tiež menšie ako 180 °. Môžeme myslieť napríklad na štvorec alebo obyčajný osemuholník.
Opakom je konkávny mnohouholník. Teda ten, kde sa musí aspoň pre spojenie dvoch jeho bodov nakresliť čiara, ktorá je čiastočne alebo úplne mimo obrazca. Ako je zrejmé z nižšie uvedeného porovnania:
