Exponenciálna funkcia je základom spojitého zloženia, ktoré je výsledkom nekonečného zvýšenia (keď má p tendenciu k nekonečnu) frekvencie výpočtu záujmu o zložené zloženie.
Inými slovami, exponenciálna funkcia je zložené zloženie, kde časové obdobia medzi výpočtami úrokov sú nekonečne malé (veľmi malé).
Vzorec pre exponenciálnu funkciu je:
Priebežné zloženie možno vyjadriť ako
Rozumné podobnosti medzi spojitou kapitalizáciou a exponenciálnou funkciou, však?
Definujeme premenné spojitého písania veľkých písmen:
- C.t + 1: hlavné mesto v čase t + 1 (neskôr).
- C.t: kapitál v čase t (aktuálny).
- it: úroková sadzba v čase t.
- p: frekvencia zostavovania alebo periodicita.
- t: čas.
Aplikácie
Vo finančníctve často nájdeme exponenciálnu funkciu vo vzorci pre nepretržitú kapitalizáciu budúcich príjmov a v niektorých ekonometrických regresiách.
V ekonómii to nie je také populárne, pretože väčšina mikroekonomických a makroekonomických modelov predpokladá zníženie marginálnych výnosov z ich výrobných faktorov. V dôsledku toho predpokladajú, že faktory nasledujú po logaritmických návratoch, a preto sa vracajú v rozpore s exponenciálnou funkciou.
Príklad exponenciálnej funkcie
Predpokladáme, že sme americký investor, ktorý chce postaviť zjazdovku vo venezuelskom Pico Bolívar. Počiatočná investícia je 100 miliónov USD pri ročnej úrokovej miere 100%. Tento investor má dostatočnú vyjednávaciu silu na stanovenie periodicity výpočtu úroku z jeho investície.
Akú alternatívu dá americký investor prednosť?
Na zodpovedanie otázky si budeme musieť kapitál vypočítať včas t + 1 (C.t + 1), ktoré investor dostane.
Dostupné informácie:
C.t: 100 miliónov USD
it: 100%
t: 1 (ročne)
C.t + 1: ?
| Alternatívne | TO | B | C. | D | A | F |
| Periodicita | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Informácie, ktoré máme, dosadíme do dvoch vzorcov (funkcia exp. A spojité veľké písmená)
S údajmi zaobchádzame bez MM.
Rozdeľujeme (C.t + 1) na 100 v exponenciálnej funkcii na elimináciu účinku kapitálu. Týmto spôsobom posunieme čiarku o dve miesta dopredu. Tento efekt je následne viditeľný v nasledujúcich stĺpcoch výsledkov.
Výsledky:
| Vzorec | Kontinuálne zloženie | Exponenciálna funkcia |
| Periodicita (p) alebo (n) | C.t + 1 | C.t + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Keď majú n alebo p sklon k nekonečnu, v tomto prípade od 10 000 000, môžeme vidieť, že sa hodnoty zbiehajú na konkrétne číslo. Pre spojité zloženie je to 271,8281 a pre exponenciálnu funkciu je to 2,718281. Tieto dve série sa zbiehajú ďalej a.
Reakcia na cvičenie vyriešená
Akú alternatívu si teda americký investor nakoniec vyberie, ak z mnohých periodík bude kapitál na t + 1 (C.t + 1) stánky na konkrétnej hodnote?
- Ak tento investor zaobchádza s kapitálom ako s diskrétnou premennou, vyberie si alternatívu D. Pretože z alternatívy C je kapitál t + 1 (Ct + 1) konverguje k 271 mil. USD.
- Ak tento investor zaobchádza s kapitálom ako s nepretržitou premennou, zvolí alternatívu s viacerými periodicitami. V tomto prípade alternatíva F. Aj keď to nakoniec konverguje k hodnote, investor zohľadní všetky desatinné miesta.
Z tejto konvergencie vyplýva, že kapitál v čase t + 1 (Kt + 1), vypočítané pomocou spojitého vzorca alebo exponenciálnej funkcie, sleduje klesajúce marginálne výnosy. Inými slovami, (C.t + 1) možno vyjadriť ako logaritmickú funkciu.
Schematicky:
- Periodicita = exponenciálna funkcia.
- Kapitál do t + 1 (C.t + 1) = logaritmická funkcia.
Grafické znázornenie
V grafe vidíte, ako exponenciálna funkcia, ktorá je nekonečne spojitá, rastie oveľa rýchlejšie ako obmedzená spojitá kapitalizácia. Keď hovoríme o nepretržitej kapitalizácii, máme na mysli druh zloženej kapitalizácie, ale s väčšou periodicitou, pretože v praxi je nemožné kapitalizovať záujmy nekonečne. Myslím, že nemôžeme využiť každú sekundu.