Vlastné vektory sú vektory vynásobené vlastnou hodnotou v lineárnych transformáciách matice. Vlastné hodnoty sú konštanty, ktoré znásobujú vlastné vektory v lineárnych transformáciách matice.
Inými slovami, vlastné vektory prekladajú informácie z pôvodnej matice do násobenia hodnôt a konštanty. Vlastné hodnoty sú táto konštanta, ktorá znásobuje vlastné vektory a podieľa sa na lineárnej transformácii pôvodnej matice.
Aj keď je jeho názov v španielčine veľmi popisný, v angličtine sa nazývajú vlastné vektory vlastné vektory a vlastné čísla, vlastné hodnoty.
Odporúčané články: maticové typológie, inverzná matica, determinant matice.
Vlastné vektory
Vlastné vektory sú množiny prvkov, ktoré sú vynásobením ľubovoľnej konštanty ekvivalentné znásobeniu pôvodnej matice a množín prvkov.
Matematicky vlastný vektorV.= (v1, …, Vn) štvorcovej maticeQ je akýkoľvek vektorV. ktorý spĺňa nasledujúci výraz pre každú konštantuh:
QV = hV
Vlastné hodnoty
Konštantná h je vlastné číslo, ktoré patrí k vlastnému vektoru V..
Vlastné hodnoty sú skutočné korene (korene, ktoré majú ako riešenie reálne čísla), ktoré nájdeme prostredníctvom charakteristickej rovnice.
Charakteristika vlastných čísel
- Každá vlastná hodnota má nekonečné vlastné vektory, pretože existuje nekonečné reálne číslo, ktoré môže byť súčasťou každého vlastného čísla.
- Sú to skaláre, môžu to byť komplexné čísla (nie skutočné) a môžu byť identické (viac ako jedna rovnaká vlastná hodnota).
- Existuje toľko vlastných čísel, koľko je riadkov (m) alebo stĺpce (n) má pôvodnú maticu.
Vektory a vlastné hodnoty
Medzi vektormi a vlastnými hodnotami existuje vzťah lineárnej závislosti, pretože vlastné čísla znásobujú vlastné vektory.
Matematicky
Ak V je vlastný vektor maticeZ Y. h je vlastné číslo matice ZpotomhV je lineárna kombinácia medzi vektormi a vlastnými hodnotami.
Charakteristická funkcia
Charakteristická funkcia sa používa na nájdenie vlastných čísel maticeZ námestie.
Matematicky
(Z - hl) V = 0
Kde ZY.h sú definované vyššie aJa je matica identity.
Podmienky
Ak chcete nájsť vektory a vlastné hodnoty matice, musíte byť splnení:
- Matrix Z štvorec: počet riadkov (m) je rovnaký ako počet stĺpcov (n).
- Matrix Z reálny. Väčšina matíc používaných vo finančníctve má skutočné korene. Aká výhoda existuje pri používaní skutočných koreňov? Vlastné hodnoty matice nikdy nebudú zložité čísla, a to, priatelia, veľa rieši náš život.
- Matrix (Z- Ahoj) nie je invertibilné: determinant = 0. Táto podmienka nám pomáha nájsť vždy vlastné vektory iné ako nula. Keby sme našli vlastné vektory rovné 0, potom by násobenie medzi hodnotami a vlastnými vektormi bolo nulové.
Praktický príklad
Predpokladáme, že chceme nájsť vektory a vlastné hodnoty aZ 2 × 2 rozmerová matica:
1. Maticu dosadíme Z Y.Ja v charakteristickej rovnici:
2. Opravujeme faktory:
3. Násobíme prvky, akoby sme hľadali determinant matice.
4. Riešením tejto kvadratickej rovnice je h = 2 a h = 5. Dve vlastné čísla, pretože počet riadkov alebo stĺpcov v matici Z je 2. Takže sme našli vlastné čísla matice Z ktoré zase robia determinant 0.
5. Aby sme našli vlastné vektory, budeme musieť vyriešiť:
6. Napríklad (v1, v2) = (1,1) pre h = 2 a (v1, v2) = (- 1,2) pre h = 5:
