Kombinatorika bez opakovania

Kombinatorikou bez opakovania sa rozumejú rôzne množiny, ktoré je možné vytvoriť pomocou prvkov «n» vybraných z x v x. Každá sada sa musí od predchádzajúcej odlišovať najmenej v jednom zo svojich prvkov (na poradí nezáleží) a tieto sa nedajú opakovať.

Kombinatorika bez opakovania sa bežne používa v štatistike a matematike. To vyhovuje mnohým situáciám v reálnom živote a jeho aplikácia je celkom jednoduchá.

Vezmime si napríklad študenta, ktorý má skúšku so 4 otázkami. Zo 4 otázok, ktoré musí zvoliť tri: Koľko rôznych kombinácií mohol študent vytvoriť? Ak by sme trochu uvažovali, videli by sme (bez toho, aby sme skutočne použili vzorec), že študent by si mohol zvoliť, ako odpovedať na 3 otázky štyrmi rôznymi spôsobmi.

• Sada / možnosť 1: Odpovedať na otázky 1,2,3.
• Sada / možnosť 2: Odpovedať na otázky 1,2,4.
• Sada / možnosť 3: Odpovedať na otázky 1,3,4.
• Sada / možnosť 4: Odpovedať na otázky 2,3,4.

Ako vidíme, študent môže vytvoriť 4 sady (n) z 3 prvkov (x). Preto nám kombinatorika bez opakovania hovorí, ako vytvoriť alebo zoskupiť konečné množstvo údajov / pozorovaní v skupinách s určitým počtom bez toho, aby sa v každej skupine mohol opakovať niektorý z prvkov. Toto je hlavný rozdiel medzi kombinatorickým a opakovaním (prvky v každej skupine sa môžu opakovať) a kombinatorickým bez opakovania (v každej skupine sa nedá opakovať žiadny prvok)

V tomto príklade zdôrazním, že ide o kombinatoriku bez opakovania, pretože študent sa nemôže rozhodnúť položiť niektorú z otázok viackrát. Preto nemožno množiny prvkov opakovať.

V predchádzajúcom prípade, vzhľadom na to, že celkový počet prvkov je malý a veľkosť množiny je veľká, je počet možností malý a dá sa ľahko odvodiť bez použitia vzorca. V prípade priameho použitia vzorca by bol čitateľ 24 (4 * 3 * 2 * 1) a menovateľ 6 (3 * 2 * 1 * 1), pomocou ktorých by sme k výpočtu dospeli rovnako. bez toho, aby sme premýšľali o tom, ako by sme tieto štyri otázky mohli zoskupiť do troch.

Ako vypočítať kombinatoriku bez opakovania?

Vzorec kombinatorika bez opakovania je:

Kde:

• n = Celkový počet pozorovaní
• X = Počet vybraných položiek

Príklad kombinačný bez opakovania

Predstavme si vojenskú četu 12 vojakov. Kapitán armády chce vytvoriť skupiny 2 vojakov, aby sa infiltrovali za nepriateľské línie na rôznych miestach, koľko rôznych skupín by mohol vytvoriť?

Aby sme problém vyriešili, najskôr musíme zistiť celkový počet prvkov. V tomto prípade je celkovo 12 vojakov, preto už máme svoje n. Pretože kapitán chce skupiny po 2, už vieme, aké je naše x. Keď to vieme, mohli by sme to vo vzorci nahradiť a mať počet skupinových kombinácií 2.

• n = 12
• X = 2

Pri nahradení:

Pri použití faktoriálu na menovateľa by sme mali 12 * 11 * 10 * … * 1 = 479,001,600. Pre menovateľa máme 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Naše kombinačné číslo je = 479 001 600/7 257 600 = 66.

Ako vidíme, kapitán môže zostaviť 66 rôznych dvojíc vojakov z 12, ktoré má.