Štvorsten je mnohosten so štyrmi plochami, šiestimi okrajmi a štyrmi vrcholmi. Je to trojrozmerná figúra tvorená niekoľkými polygónmi, ktoré sú v tomto prípade trojuholníky.
Štvorsten sa vyznačuje tým, že je najjednoduchším z mnohostenov a jediným, ktorý má menej ako päť strán.
Za zmienku stojí, že štvorsten je pyramída s trojuholníkovou základňou.
Prvky štvorstena
Prvky štvorstena, ktoré nás vedú z obrázku nižšie, sú:
- Tváre: Sú to strany štvorstena, ktoré, ako sme už spomenuli, sú trojuholníky (ABC, ADC, ADB a BDC.
- Hrany: Je to spojenie dvoch tvárí: AB, AC, AD, BC, CD a DB.
- Vrcholy: Sú to tie body, kde sa okraje stretávajú: A, B, C a D.
- Dihedrálny uhol: Vzniká spojením dvoch tvárí.
- Uhol mnohostena: Je to strana, ktorú tvoria strany, ktoré sa zhodujú v jednom vrchole.
Plocha a objem štvorstena
Aby sme poznali vlastnosti štvorstena, môžeme vypočítať:
- Plocha: Bolo by treba pripočítať plochu štyroch trojuholníkov, ktoré tvoria mnohosten. V tomto zmysle si musíme uvedomiť, že plocha trojuholníka sa počíta vynásobením základne výškou a vydelením 2 (A = bxh / 2)
- Objem: Vypočítalo by sa to podľa nasledujúceho vzorca
Vo vzorci je b ľubovoľná strana mnohostena a h je výška alebo segment, ktorý spája b s opačným vrcholom. Výška je navyše kolmá na základňu (tvoria pravý uhol alebo meria 90 °).
Pravidelný štvorsten
Keď sú všetky trojuholníky, ktoré tvoria štvorsten, rovnostranné trojuholníky navzájom identické, čelíme pravidelnému štvorstenu. To znamená, že by išlo o bežný mnohosten, ktorého tváre sú rovnaké a každý z nich je tiež pravidelný mnohouholník.
Na tomto mieste si musíme uvedomiť, že pravidelný mnohouholník je taký, kde všetky strany majú rovnakú dĺžku a taktiež ich vnútorné uhly sú rovnaké.
Pripomeňme si potom, že plocha (A) rovnostranného trojuholníka sa dá vypočítať pomocou Heronovho vzorca, kde a, b a c sú rozmery strán a s je semiperimeter, čo je obvod (P) medzi dvoma.
Potom áno:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Musíme:
Potom, keďže existujú štyri trojuholníky, vynásobíme plochu každého z nich číslom 4 a nájdeme oblasť štvorstena (AT):
Na druhej strane, ak chceme vypočítať objem, musíme zistiť výšku mnohostena. K tomu sa budeme riadiť nasledujúcim obrázkom:
Najskôr vypočítame výšku (h) základne (v tomto príklade trojuholník ABC), ktorou je segment EB. Uhol X meria 90 °, takže musí byť splnená Pytagorova veta a prepona (BA), ktorá meria a (dĺžka všetkých hrán v tomto štvorstene), sa rovná súčtu každej nohy na druhú. Jedna z nôh je EA, je to stred segmentu AC (E rozdeľuje stranu na dve rovnaké časti) a meria a / 2. Druhou nohou je tiež výška základne (h alebo EB).
Potom, podľa vlastnosti pravidelného štvorstenu, pričom F je stredom trojuholníka, bude EF jedna tretina segmentu EB, to znamená tretina h.
Ďalším krokom, aby sme zistili výšku štvorstenu (DF), môžeme znova použiť Pytagorovu vetu, pretože pretože výška je kolmá, uhol Y je pravý (meria 90 °).
Pri pohľade na trojuholník DEF je preponou DE, ktorá je výškou trojuholníka ADC a keďže všetky tváre sú rovnaké, má rovnakú výšku h trojuholníka ABC. Jedna noha je zase výška štvorstenu (DF), ktorú budeme nazývať ht, a druhá noha je segment EF, ktorý sme už vypočítali. Preto:
Nakoniec, aby sme zistili objem štvorstenu (V), ako sme už vysvetlili, vynásobíme výšku obrázku (ht) plochou základne (A), ktorá sa počíta vyššie, a vydelíme ho tromi:
Príklad štvorstenu
Za predpokladu, že štvorsten je pravidelný a každá jeho strana je 20 metrov. Aká je plocha (AT) a objem (V) obrázku?
