Petrohradský paradox je paradox, ktorý pozoroval Nicolaus Bernoulli, a ktorý má svoj dôvod pre hranie hazardných hier. Tento paradox nám hovorí, že v teórii rozhodovania sú prijímané všetky stávky bez ohľadu na ich hodnotu, aj keď nám uvedená hodnota ukazuje, že nejde o racionálne rozhodnutie.
Petrohradský paradox, aby sme ho správne pochopili, bol paradoxom, ktorý popísal Nicolaus Bernoulli po pozorovaní hazardných hier, a preto tento paradox existuje.
Teória hierV tomto zmysle nám paradox hovorí, že teória formulovaných rozhodnutí nám ukazuje, že racionálne rozhodnutie v stávkovej hre je všetko bez ohľadu na sumu, ktorú každá stávka predpokladá. Avšak pri správnej analýze tejto situácie a pri presnom venovaní sa teórii pozorujeme, že žiadna racionálna bytosť by sa nerozhodla rozhodnúť sa staviť množstvo peňazí blízkych nekonečnu, hoci teória naznačuje, že je racionálna. Z tohto dôvodu vzniká paradox.
Paradox spočiatku pozoruje Nicolaus Bernoulli, ako sa uvádza v liste, ktorý 9. septembra 1713 poslal francúzskemu aristokratovi a matematikovi Pierrovi de Montmortovi.
Pretože však Nicolausova štúdia nepriniesla výsledky, predstavil paradox v roku 1715 svojmu bratrancovi Danielovi Bernoullimu, matematikovi holandského pôvodu a rektorovi Bazilejskej univerzity, ktorý sa v Petrohrade stretol s významnou skupinou vedcov a po r. rokov výskumu, publikovaný v roku 1738 nový merací systém vo svojej práci „Expozícia novej teórie v meraní rizika“.
Model navrhnutý Danielom, na rozdiel od modelu, ktorý navrhol Nicolaus, kladie základy toho, čo by neskôr malo vylepšiť a zavŕšiť teóriu očakávaného užitočnosti.
Petrohradský paradoxný vzorec
Formulácia, ktorú navrhol Nicolaus Bernoulli svojmu bratrancovi a Pierrovi de Montmortovi, je nasledovná:
Poďme si predstaviť hazardnú hru, v ktorej hráč samozrejme musí za účasť zaplatiť určitú sumu.
Predpokladajme, že hráč vsadí na chvosty a bude postupne hádzať mincou až po chvosty. Po skončení hry sa hra zastaví a hráč získa $ 2 n.
Ak teda hráč zostane na chvoste, najskôr vyhrá 2 1, čo sú 2 doláre. Ak sa však chvosty opäť dostanú, získa 2 2, čo sú 4 doláre atď. Ak vyjde znova, bude to 8 dolárov, čo je ekvivalent 2 3; zatiaľ čo vyjde štvrtýkrát, cena bude 16 dolárov, čo predstavuje 2 4.
Nicolausova otázka teda znela: S prihliadnutím na vyššie uvedenú postupnosť a zisk, koľko by bol hráč ochotný zaplatiť za túto hru bez straty racionality?
Príklad petrohradského paradoxu
Ak vezmeme do úvahy formuláciu navrhnutú Nicolausom a pochybnosti, ktoré položil francúzskemu matematikovi a jeho bratrancovi, pozrime sa na príklade tohto paradoxu, aby sme pochopili, čo máme na mysli.
Najskôr musíme vedieť, že pred začiatkom hry máme nekonečné množstvo možných výsledkov. No aj keď je pravdepodobnosť 1/2, chvosty môžu vyjsť až v 8. hode.
Pravdepodobnosť, že sa tento kríž objaví v hode k, je preto:
Pk = 1 / 2k
Zisk je tiež 2 tis.
V pokračovaní vývoja budú mať prvé chvosty na 1. hode zisk 21 (2 doláre) a pravdepodobnosť 1/2. Chvosty na 2. pokus majú zisk 22 (4 doláre) a pravdepodobnosť 1/22; zatiaľ čo pri treťom pokuse má hráč výhru 23 (8 dolárov) a pravdepodobnosť 1/23. Ako vidíme, vzťah sa rozširuje, pokiaľ pridáme behy.
Pred pokračovaním je potrebné poznamenať, že v teórii rozhodovania nazývame matematické očakávanie (EM) alebo očakávané víťazstvo v hre, súčet cien spojených s každým z možných výsledkov hry a všetky z nich vážené pravdepodobnosť, že dôjde k každému z týchto výsledkov.
Ak vezmeme do úvahy prístup, ktorý ukazuje tento paradox, vidíme, že pri hraní je pravdepodobnosť výhry 2 doláre 1/2, ale navyše pravdepodobnosť výhry 4 je 1/4, zatiaľ čo pravdepodobnosť výhry 8 dolárov je 1/8. To až do dosiahnutia situácií, ako je výhra 64 dolárov, je pravdepodobnosť pre tento prípad 1/64.
Ak teda s týmito výsledkami spočítame matematické očakávanie alebo to, čo poznáme ako očakávané víťazstvo v hre, musíme pripočítať výhry všetkých možných výsledkov vážených pravdepodobnosťou ich výskytu, takže výsledok nám ukazuje nekonečný počet hodnotu.
Ak sa budeme riadiť teóriou voľby, hovorí nám, že by sme mali staviť akúkoľvek sumu pre prostý fakt, že každé rozhodnutie je pre nás priaznivé. Skutočnosť, že ide o paradox, je teraz taká, že racionálne nebude hráč staviť donekonečna, aj keď ho k tomu tlačí teória.
Výrazný paradox
Mnohí boli matematikmi, ktorí sa pokúšali rozlúštiť paradox, ktorý navrhol Bernoulli, avšak je aj veľa takých, ktorí to nedokázali vyriešiť.
Existuje teda veľa príkladov, ktoré nám ukazujú, ako sa paradox pokúsili vyriešiť matematici, ktorí sa zaoberali tak štruktúrou hry, ako aj rozhodnutiami samotných jednotlivcov. Dodnes však stále nenájdeme platné riešenie.
A je to tak, že na získanie predstavy o zložitosti tohto paradoxu, berúc do úvahy teóriu výberu v tomto príklade, predpokladáme ako možnú cenu po výpočte nekonečné množstvo mincí, ktoré dokonca za predpokladu, že je to možné, bolo by to nezlučiteľné so samotným menovým systémom, pretože ide o peniaze, ktoré sú na rozdiel od paradoxu obmedzené.
