Ortocentrum je priesečník troch výšok trojuholníka, ktorý sa nachádza vo vnútri alebo mimo postavy.
Malo by sa pamätať na to, že výška trojuholníka je ten segment, ktorý začína od každého vrcholu trojuholníka a tiahne sa smerom k jeho protiľahlej strane a vytvára pravý uhol alebo 90 °. To znamená, že výška a jej príslušná strana sú kolmé.
Na obrázku vyššie je napríklad bod O ortocentrom obrázku, pričom výšky trojuholníka sú CF, BE a AD.
Ortocentrum podľa typu trojuholníka
Ortocentrum má v závislosti od typu daného trojuholníka rôzne vlastnosti:
- Správny trojuholník: Ortocentrum pravého trojuholníka sa zhoduje s vrcholom, ktorý zodpovedá pravému uhlu. Na obrázku nižšie sú napríklad výšky BF a samotné trojuholníkové segmenty AB a BC, pričom ortocentrom je vrchol B.
Za zmienku tiež stojí, že výšky AB a BC sú nohy, to znamená strany, ktoré zvierajú pravý uhol, zatiaľ čo AC je prepona.
- Tmavý trojuholník: Ortocentrum je mimo trojuholníka, ak je tupé, to znamená, keď je jeden z vnútorných uhlov figúry väčší ako 90 °.
Na obrázku nižšie sú napríklad výšky AH, CI a FB, takže hľadáme priesečník ich predĺžení, ktorým by bol bod O.
- Akútny trojuholník: Ortocentrum sa nachádza vo vnútri obrázku, keď je trojuholník ostrý, to znamená, keď sú všetky jeho vnútorné uhly ostré alebo menšie ako 90 ° (pozri prvý obrázok tohto článku).
Ortický trojuholník
Ortický trojuholník je ten, ktorého vrcholy sú nohy troch výšok trojuholníka. Ako vidíme na obrázku nižšie, ortický trojuholník trojuholníka ABC je trojuholník FGH.
Je tiež pravda, že ortocentrum (bod I) trojuholníka ABC je tiež stredom vpísanej kružnice (obsiahnutej v) ortického trojuholníka.
Ako nájsť ortocentrum trojuholníka
Predpokladajme, že máme rovnicu priamok, ktoré obsahujú dve výšky trojuholníka:
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
Musíme teda zistiť, pri ktorých hodnotách x a y sa obe priamky zhodujú. Najskôr vyriešime pre x rovnicou na pravej strane každej rovnice:
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
x = -14,0853
Potom vyriešime pre a v jednej z dvoch rovníc:
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8,4512 + 7 = -1,4512
Preto súradnice ortocentra v karteziánskej rovine sú (-14,0853, 1,4512)