Bayesova veta sa používa na výpočet pravdepodobnosti udalosti, ktorá má o udalosti vopred informácie.
Môžeme vypočítať pravdepodobnosť udalosti A, aj keď vieme, že A spĺňa určitú charakteristiku, ktorá určuje jeho pravdepodobnosť. Bayesova veta chápe pravdepodobnosť inverzne k vete o celkovej pravdepodobnosti. Veta o celkovej pravdepodobnosti odvodzuje udalosť B z výsledkov udalostí A. Bayes z jeho strany počíta pravdepodobnosť A podmienenú B.
Bayesova veta bola často spochybňovaná. Čo bolo spôsobené hlavne zlou aplikáciou. Pretože, pokiaľ sú splnené predpoklady disjunktných a vyčerpávajúcich udalostí, veta je úplne platná.
Bayesova veta
Na výpočet pravdepodobnosti definovanej Bayesom v tomto type udalosti potrebujeme vzorec. Vzorec je matematicky definovaný ako:
Kde B je udalosť, o ktorej máme predchádzajúce informácie, a A (n) sú rôzne podmienené udalosti. V časti čitateľa máme podmienenú pravdepodobnosť a v dolnej časti celkovú pravdepodobnosť. V každom prípade, aj keď sa vzorec zdá byť trochu abstraktný, je veľmi jednoduchý. Aby sme to demonštrovali, použijeme príklad, kde namiesto A (1), A (2) a A (3) priamo použijeme A, B a C.
Príklad Bayesovej vety
Spoločnosť má v USA továreň, ktorá má tri stroje, A, B a C, ktoré vyrábajú kontajnery na fľaše s vodou. Je známe, že stroj A produkuje 40% z celkového množstva, stroj B 30% a stroj C 30%. Je tiež známe, že každý stroj vyrába chybné obaly. Tak, že stroj A vyprodukuje 2% chybných obalov z svojej celkovej výroby, stroj B 3% a stroj C 5%. To znamená, že vyvstávajú dve otázky:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Ak bol kontajner vyrobený v továrni tejto spoločnosti v Spojených štátoch, aká je pravdepodobnosť jeho poškodenia?
Vypočíta sa celková pravdepodobnosť. Pretože z rôznych udalostí vypočítame pravdepodobnosť, že je chybná.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Vyjadrené v percentách by sme povedali, že pravdepodobnosť chybného balenia vyrobeného v továrni tejto spoločnosti v Spojených štátoch je 3,2%.
2. Ak pokračujeme v predchádzajúcej otázke, ak je kontajner zakúpený a je chybný, aká je pravdepodobnosť, že bol vyrobený strojom A? A strojom B? A strojom C?
Používa sa tu Bayesova veta. Máme predbežné informácie, to znamená, že vieme, že obal je chybný. Samozrejme, s vedomím, že je chybný, by sme chceli vedieť, aká je pravdepodobnosť, že bol vyrobený jedným zo strojov.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Ak vieme, že je nádoba chybná, pravdepodobnosť, že bola vyrobená strojom A, je 25%, že bola vyrobená strojom B, 28% a že bola vyrobená strojom C, je 47%.