Rovnoramenný lichobežník je ten, v ktorom majú jeho dve nerovnobežné strany, tie, ktoré spájajú dve základne figúry, rovnakú dĺžku.
Malo by sa pamätať na to, že lichobežník je štvoruholník (štvorstranný polygón), ktorý sa vyznačuje tým, že má dve strany, ktoré sa nazývajú základy. Sú rovnobežné (nepretínajú sa, ani keď sú predĺžené) a majú rôznu dĺžku. Rovnako tak jeho ďalšie dve strany nie sú rovnobežné.
Rovnoramenný lichobežník je jedným z troch typov lichobežníka spolu s pravým lichobežníkom a lichobežníkom scalene.
Charakteristika rovnoramenného lichobežníka
Medzi vlastnosťami rovnoramenného lichobežníka vynikajú:
- Na obrázku nižšie, ak je lichobežník rovnoramenný, sú strany AB a CD rovnako dlhé.
- Dva vnútorné uhly umiestnené na rovnakom podklade merajú rovnako. Ak by sme sa riadili obrázkom nižšie, platilo by toto: α = β a δ = γ.
- Uhlopriečky na obrázku, AC a DB, sú rovnako dlhé.
- Vnútorné uhly, ktoré sú protiľahlé, sú doplnkové. To znamená, že tvoria priamy uhol. Na spodnom obrázku je možné pozorovať toto: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180 °.
- Dva z jeho vnútorných uhlov sú ostré (menej ako 90 °), zatiaľ čo ďalšie dva sú tupé (väčšie ako 90 °). Na nasledujúcom obrázku sú teda α a β tupé, zatiaľ čo δ a γ sú akútne.
- Štyri vnútorné uhly majú dohromady 360 °.
- Rovnoramenný lichobežník je jediný typ lichobežníka, ktorý je možné vpísať na obvod. To znamená, že jeho štyri vrcholy môžu prechádzať obvodom kruhu (pozri nákres nižšie).
- Má os symetrie, čo by bola čiara EF na obrázku nižšie. Toto je kolmé na základne (vytvára pravý alebo 90 ° uhol) a prerezáva ich v ich strede. Pri kreslení tejto osi je teda mnohouholník rozdelený na dve symetrické časti. To znamená, že každý bod na jednej strane zodpovedá bodu na druhej strane, pričom oba sú rovnako vzdialené od osi symetrie. Napríklad vzdialenosť medzi bodom B a bodom F je rovnaká vzdialenosť, ktorá existuje medzi bodom F a bodom C.
Obvod a plocha rovnoramenného lichobežníka
Aby sme lepšie pochopili vlastnosti rovnoramenného lichobežníka, môžeme vypočítať nasledujúce merania:
- Obvod: Pridáme dĺžku každej strany obrázku: P = AB + BC + CD + AD.
- Oblasť: Ako v každom lichobežníku, aby sa zistila jeho plocha, pridajú sa základy, ktoré sa vydelia dvoma a vynásobia výškou. Ako je uvedené vo vzorci uvedenom nižšie:
Teraz, na výpočet výšky, môžeme z vrcholov A a D nakresliť dve výšky, ako vidíme na obrázku nižšie:
Máme teda trojuholník ADFG; kde AD sa rovná FG a trojuholníky vytvorené po stranách sú zhodné. Preto je BF rovnaký ako GC. Budeme predpokladať, že obidve merajú do.
Preto by bola pravda, že:
Teraz si všimneme, že trojuholníky vytvorené do strán sú pravouhlé trojuholníky, takže je možné použiť Pytagorovu vetu. Napríklad v trojuholníku ABF je AB prepona, zatiaľ čo AF (výška, ktorú budeme nazývať h) a BF sú nohy.
Musíme si tiež uvedomiť, že AB je rovnaké ako DC. Ak by sme teda nahradili vyššie uvedené vo vzorci pre oblasť, mali by sme túto plochu ako funkciu strán lichobežníka:
Ďalším spôsobom, ako vypočítať plochu lichobežníka, je vynásobenie uhlopriečok vydelením dvoma a vynásobenie sínusom uhla, ktorý vytvárajú, keď sa pretínajú, pričom treba pamätať na to, že obe uhlopriečky sú rovnaké:
Stojí za zmienku, že v priesečníku uhlopriečok sú opačné uhly rovnaké a susedné s ich dodatočným uhlom.
Keď potom vieme, že sínus uhla sa rovná sínusu jeho dodatočného uhla, je možné zvoliť ktorýkoľvek z uhlov v priesečníku uhlopriečok.
Ak teda zhrnieme, na obrázku nižšie platí, že: α = γ, β = δ a α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180 °
Na nájdenie uhlopriečky môžeme použiť nasledujúci vzorec:
Preto by táto oblasť bola:
Príklad rovnoramenného lichobežníka
Poďme si predstaviť, že máme lichobežník so základňami, ktoré merajú 4 a 8 metrov, zatiaľ čo nerovnobežné strany merajú každý 3,6 metra, pričom obe sú rovnaké (takže lichobežník je rovnoramenný), aký dlhý je obvod (P), plocha ( A) a uhlopriečku (D) obrázku?
