Absolútna hodnota reálneho čísla je jeho veľkosť, bez ohľadu na znamienko, ktoré mu predchádza.
Inými slovami, absolútna hodnota čísla je hodnota, ktorá je výsledkom vylúčenia znamienka, ktoré mu zodpovedá.
Ak sa na to pozrieme formálnejšie, musíme splniť nasledujúce podmienky, keď x medzi dvoma čiarami znamená, že nachádzame absolútnu hodnotu x:
| x | = x, ak x≥ 0
| x | = -x ak x <0
To znamená, že absolútna hodnota kladného čísla je toto isté číslo. Namiesto toho sa absolútna hodnota záporného čísla rovná tomuto číslu, ale so záporným znamienkom pred ním. To znamená, vynásobené -1.
Absolútna hodnota -10 je tiež - (- 10) = 10. Musíme teda zdôrazniť, že absolútna hodnota je vždy pozitívna.
Vlastnosti absolútnej hodnoty
Medzi vlastnosťami absolútnej hodnoty vynikajú:
- Absolútna hodnota čísla a jeho opaku je rovnaká. To znamená, že hodnota -19 a 19 je rovnaká: 19.
- Absolútna hodnota súčtu sa rovná alebo je menšia ako súčet absolútnych hodnôt súčtov. To znamená, že je pravda, že:
| x + y | ≤ | x | + | y |
Vyššie uvedené môžeme skontrolovať na niekoľkých príkladoch:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Ďalšou vlastnosťou je tá, ktorú nazývame multiplikatívna. Toto nám hovorí, že absolútna hodnota produktu sa rovná súčinu absolútnych hodnôt faktorov. To znamená, že platí nasledovné:
| xy | = | x |. | y |
Vyššie uvedené môžeme skontrolovať v nasledujúcich príkladoch:
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- Ako náprotivok multiplikatívnej vlastnosti máme zachovanie rozdelenia, ktoré nám hovorí, že absolútna hodnota rozdelenia sa rovná kvocientu absolútnych hodnôt rovnakých prvkov uvedenej operácie. Toto, pokiaľ deliteľ nie je nula. To znamená, že je pravda, že:
| x / y | = | x | / | y |
Môžeme to vidieť na niekoľkých príkladoch:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Absolútna hodnota v grafe
Ďalej sa pozrime, ako by vyzeral príklad absolútnej hodnoty v karteziánskej rovine.
V tomto prípade máme jednoduchú funkciu y = | x | a všimneme si, že hodnota y bude vždy kladná, bez ohľadu na hodnotu x.
