Antisymetrická matica je štvorcová matica, kde sú prvky mimo hlavnej uhlopriečky symetricky rovnaké, ale prvky pod hlavnou uhlopriečkou majú záporné znamienko.
Inými slovami, antisymetrická matica je matica, ktorá má rovnaký počet riadkov (n) a stĺpcov (m) a prvky na oboch stranách hlavnej uhlopriečky sa navzájom dopĺňajú.
Pretože prvky nad a pod hlavnou uhlopriečkou sú posunuté, prvky na hlavnej uhlopriečke sú nuly.
Odporúčaný článok: nesymetrická matica a symetrická matica.
Charakteristika antisymetrickej matice
Vlastnosti antisymetrickej matice sú:
- Štvorcová matica.
- Symetrická matica + záporné znamienko (-) v prvkoch pod hlavnou uhlopriečkou.
- Prvky hlavnej uhlopriečky sú nuly (0).
Antisymetrická matica
Daná štvorcová matica ACE,
Vidíme, ako sa rovnaké prvky objavujú na oboch stranách hlavnej uhlopriečky, ale s tým zvláštnosťou, že prvky pod hlavnou uhlopriečkou majú vpredu záporné znamienko. Hlavná uhlopriečka je tiež tvorená nulami.
Antisymetrická matica a zrkadlá
Rovnakým spôsobom ako symetrickú maticu možno aj antisymetrickú maticu chápať prostredníctvom príkladu zrkadla.
Ak sa pozrieme na seba do zrkadla a zdvihneme pravú ruku, uvidíme, že osoba v zrkadle zdvihne ľavú ruku. Inými slovami, pohyb zrkadla dopĺňa náš, a preto by súčet oboch mal za následok nulu.
Vyššie uvedenú myšlienku môžeme vyjadriť nasledovne a odvodiť:
(Zdvihni ruku správny) - (Zdvihni ruku vľavo) = 0
(Zdvihni ruku správny) = (Zdvihni ruku vľavo)
Hlavná uhlopriečka funguje ako zrkadlo a na oboch stranách hlavnej uhlopriečky vidíme protichodné prvky. Neutrálna funkcia (=) sa mapuje na hlavnú uhlopriečku.
Nehnuteľnosť
- Transponovaná matica antisymetrickej matice sa rovná antisymetrickej matici vynásobenej (-1).
Inými slovami, bolo by to ako pridať záporné znamienko pred antisymetrickú maticu.
Matematicky
Vidíme, že pri oboch postupoch dôjdeme k rovnakému výsledku: urobíme maticu transponovanú alebo vynásobíme (-1) antisymetrickou maticou.
Nesymetrická matica vs Antisymetrická matica vs Symetrická matica
Príklad zrkadla v prípade symetrickej matice stačí na to, aby odrážal rovnaký pohyb, to znamená, že ak zdvihneme ruku, môžeme vidieť zdvihnuté rameno, ale nie je potrebné špecifikovať, o čo ide. V prípade antisymetrickej matice musíme skontrolovať, ktoré rameno vidíme v zrkadle, a určiť, či ide o antisymetrickú maticu.
Ak zdvihneme ruku a v zrkadle vidíme, že …
- Rovnaká ruka je zdvihnutá, z pohľadu osoby v zrkadle, potom ide o symetrickú maticu.
- Opačné rameno je zdvihnuté, z pohľadu osoby v zrkadle je to potom antisymetrická matrica.
- Ak nie je zdvihnutá ruka alebo nie je zdvihnutých viac ako jedna, z pohľadu osoby v zrkadle ide o nesymetrickú maticu.