Symetrická matica - čo to je, definícia a pojem

Symetrická matica je matica rádu n s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov, kde sa jej transponovaná matica rovná pôvodnej matici.

Inými slovami, symetrická matica je štvorcová matica a je identická s maticou po výmene riadkov za stĺpce a stĺpcov za riadky.

Požiadavky

Ak má byť akákoľvek matica symetrická, musí spĺňať nasledujúce obmedzenia:

Daná symetrická matica P objednávky n,

• Byť štvorcová matica.

Počet riadkov (n) musí byť rovnaký ako počet stĺpcov (m). To znamená, že poradie matice musí byť n, pretože n = m.

• Pôvodná matica sa musí rovnať jej transponovaná matica.

Ukážka:

Vlastnosti

• Adjungovaná matica symetrickej matice je tiež symetrická matica.

Ukážka:

• Výsledkom sčítania alebo odčítania dvoch symetrických matíc je ďalšia symetrická matica.

Ukážka:

Dané dve symetrické matice P Y. T rádu 3 získame ďalšiu symetrickú maticu S zo sumy.

Prečo sa nazýva symetrická matica?

Vlastnosť symetrie je daná prvkami okolo hlavnej uhlopriečky. Pretože štvorcová matica je symetrická matica, bude mať vždy rovnaký počet prvkov nad a pod hlavnou uhlopriečkou. Tieto prvky sú rovnaké symetricky. To znamená, že hlavná uhlopriečka funguje ako zrkadlo.

Dôkaz symetrie a šikmosti matice

Symetrická matica

List d predstavuje prvky hlavnej uhlopriečky. Ostatné písmená predstavujú akékoľvek skutočné číslo. Vidíme, že hlavná uhlopriečka funguje ako zrkadlo: odráža prvky na oboch stranách. Inými slovami, keď sú prvky na oboch stranách uhlopriečky symetricky rovnaké, hovoríme, že matica P je symetrická matica.

Nesymetrická matica

Matrix X Nejde o symetrickú maticu, pretože nejde o štvorcovú maticu a jej transponovaná matica sa líši od pôvodnej matice. Okrem toho nemá ani hlavnú uhlopriečku.