Symetrická matica je matica rádu n s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov, kde sa jej transponovaná matica rovná pôvodnej matici.
Inými slovami, symetrická matica je štvorcová matica a je identická s maticou po výmene riadkov za stĺpce a stĺpcov za riadky.
Požiadavky
Ak má byť akákoľvek matica symetrická, musí spĺňať nasledujúce obmedzenia:
Daná symetrická matica P objednávky n,
- Byť štvorcová matica.
Počet riadkov (n) musí byť rovnaký ako počet stĺpcov (m). To znamená, že poradie matice musí byť n, pretože n = m.
- Pôvodná matica sa musí rovnať jej transponovaná matica.
Ukážka:
Vlastnosti
- Adjungovaná matica symetrickej matice je tiež symetrická matica.
Ukážka:
- Výsledkom sčítania alebo odčítania dvoch symetrických matíc je ďalšia symetrická matica.
Ukážka:
Dané dve symetrické matice P Y. T rádu 3 získame ďalšiu symetrickú maticu S zo sumy.
Prečo sa nazýva symetrická matica?
Vlastnosť symetrie je daná prvkami okolo hlavnej uhlopriečky. Pretože štvorcová matica je symetrická matica, bude mať vždy rovnaký počet prvkov nad a pod hlavnou uhlopriečkou. Tieto prvky sú rovnaké symetricky. To znamená, že hlavná uhlopriečka funguje ako zrkadlo.
Dôkaz symetrie a šikmosti matice
Symetrická matica
List d predstavuje prvky hlavnej uhlopriečky. Ostatné písmená predstavujú akékoľvek skutočné číslo. Vidíme, že hlavná uhlopriečka funguje ako zrkadlo: odráža prvky na oboch stranách. Inými slovami, keď sú prvky na oboch stranách uhlopriečky symetricky rovnaké, hovoríme, že matica P je symetrická matica.
Nesymetrická matica
Matrix X Nejde o symetrickú maticu, pretože nejde o štvorcovú maticu a jej transponovaná matica sa líši od pôvodnej matice. Okrem toho nemá ani hlavnú uhlopriečku.
Matica identity