Fraktálna geometria je odvetvie geometrie, ktoré študuje fraktály. Jedná sa o zložité objekty so štruktúrou, ktorá sa opakuje, keď ju pozorujeme v rôznych mierkach.
Fraktály, inými slovami, sú zložené z častí, ktoré sú podobné celku a majú nepravidelné štruktúry. Spomeňme si na hlavu brokolice, ktorú keď rozdelíme, rozdelíme ju na niekoľko menších brokolíc.
Fraktálna geometria sa zrodila z potreby lepšieho priblíženia k realite, pretože rovinná geometria a geometria vesmírnych študijných útvarov a telies, ktoré v prírode nájdeme veľmi ťažko.
Zvážte, že hory nie sú kužele a že aj egyptské pyramídy, ak sa na ne pozrieme pozorne, budú mať na svojich povrchoch určité nepravidelnosti. Tieto nedostatky sa nazývajú kvalitou drsnosti a je to charakteristika, ktorá dodáva fraktálovú geometriu objektom, ktoré už nemajú iba obvod, plochu a objem.
Počiatok fraktálnej geometrie
Priekopníkom vzniku fraktálnej geometrie je matematik Benoit Mandelbrot, ako aj jeho najväčšie literárne dielo „Fractal Geometry of Nature“, ktoré vyšlo v roku 1982.
Slovo fraktál pochádza z latinského slova „fractus“, čo znamená zlomený alebo zlomený, a vytvoril ho Mandelbrot v roku 1975.
Za zmienku stojí, že hoci Mandelbrot formalizoval štúdium fraktálnej ekonómie, nebol prvý, kto si všimol existenciu fraktálov v prírode. Napríklad, ak sa pozrieme na prácu známej japonskej maliarky Katsushiky Hokusai, uvidíme, že sa tento koncept uplatní (a sám Mandelbrot to spomenul v rozhovore). Napríklad na obraze „Veľká vlna“ sledujeme, ako sa vo vnútri vlny nachádzajú ďalšie menšie vlny.
Charakteristika fraktálu
Hlavné charakteristiky fraktálu sú:
- Sebapodobnosť: Odkazuje na to, čo sme už spomenuli predtým. Ak sa pozrieme na časť fraktálu vo väčšom meradle (pozornejšie), bude vyzerať rovnako ako celý objekt. To znamená, že časť je podobná celku, aj keď to nie je vždy úplne pravda. Predstavme si napríklad kosoštvorec zložený z mnohých malých kosoštvorcov. Aj keď sa veľkosť týchto kosoštvorcov trochu líši, bol by to fraktál.
- Fraktálna dimenzia sa nerovná topologickej dimenzii: Aby sme vysvetlili topologickú dimenziu, predstavme si, že máme rovinu rozdelenú na mriežky, napríklad na mriežku. Takže nakreslím čiaru, ktorá prechádza 2 mriežkami. Keby som rozdelil všetky pletivové mriežky na dve, linka by prešla 4 mriežkami. To znamená, že sa vynásobí 2, čo sa rovná redukčnému faktoru (2) zvýšenému na 1 (2 = 21), čo za nadbytočnosť predstavuje počet rozmerov linky. Teraz, ak máme polygón, dvojrozmernú figúru, stane sa niečo podobné. Napríklad, ak máme štvorec, ktorý sa rozkladá na štyroch mriežkach, a znova použijeme redukčný faktor 2, štvorec bude mať 16 mriežok. To znamená, že počet mriežok (4) sa vynásobí 4, čo je 2 zvýšené na 2 (2 = 22), pričom exponentom je počet rozmerov na druhú. Všetko vyššie uvedené však neplatí pre fraktály.
- Nie sú nijako rozlíšiteľné: To znamená, matematicky, že deriváciu znázornenej funkcie nie je možné vypočítať. Z vizuálneho hľadiska to znamená, že graf nie je spojitý, ale má vrcholy, takže nie je možné urobiť deriváciu.
Aplikácia fraktálnej geometrie
Fraktálna geometria môže byť použitá v rôznych poliach. Napríklad v roku 1940 Lewis Fry Richardson spozoroval, že rôzne hranice medzi krajinami sa zmenili v závislosti od rozsahu merania. To znamená, že ak zmeriame geografický obrys, výsledok sa bude líšiť v závislosti od dĺžky použitého pravítka. To slúžilo ako referencia pre Mandelbrota v jeho článku z roku 1967, publikovanom v časopise Science: „Aké dlhé je pobrežie Veľkej Británie?“
Dá sa vysvetliť, ak vezmeme do úvahy, že geografické územia sú fraktály, a keďže ich vidíme vo väčšom meradle, vidíme viac nezrovnalostí.
Ďalšou aplikáciou fraktálnej geometrie je analýza seizmických pohybov a pohybov na akciovom trhu.
Okrem toho musíme uznať, že fraktály slúžili ako inšpirácia pre umelcov, ako je spomínaný Hokusa, a máme tu aj prípad Jacksona Pollocka.