Vektorový bodový produkt s geometrickým vymedzením
Skalárny súčin dvoch vektorov podľa jeho geometrickej definície je násobenie ich modulov kosínusom uhla tvoreného oboma vektormi.
Inými slovami, bodovým produktom dvoch vektorov je vytvorenie produktu modulov oboch vektorov a kosínusu uhla.
Skalárny produktový vzorec
Vzhľadom na dva vektory sa bodový súčin počíta takto:
Volá sa skalárny súčin, pretože výsledok modulu bude vždy skalárny, rovnako ako bude kosínus uhla. Výsledkom tohto násobenia bude číslo, ktoré vyjadruje veľkosť a nemá žiadny smer. Inými slovami, výsledkom bodového súčinu bude číslo, nie vektor. Výsledné číslo preto vyjadríme ako akékoľvek číslo a nie ako vektor.
Aby sme poznali veľkosť každého vektora, počíta sa modul. Takže ak vynásobíme veľkosť jedného z vektorov (v) veľkosťou druhého vektora (a) kosínusom uhla, ktorý oba tvoria, budeme vedieť, koľko tieto dva vektory celkovo merajú.
Modul vektora (v) krát kosínus uhla je tiež známy ako projekcia vektora v na vektor a.
Pozrite si iný spôsob výpočtu bodového súčinu dvoch vektorov
Proces
- Vypočítajte moduly vektorov.
Vzhľadom na akýkoľvek vektor troch dimenzií,
Vzorec na výpočet modulu vektora je:
Každý dolný index vektora označuje rozmery, v tomto prípade je vektor (a) trojrozmerný vektor, pretože má tri súradnice.
2. Vypočítajte kosínus uhla.
Príklad bodového súčinu dvoch vektorov
Vypočítajte skalárny súčin nasledujúcich trojrozmerných vektorov s vedomím, že uhol, ktorý tvoria, je 45 stupňov.
Na výpočet skalárneho súčinu musíme najskôr vypočítať modul vektorov:
Keď sme spočítali moduly dvoch vektorov a poznáme uhol, stačí ich iba vynásobiť:
Preto je bodový produkt predchádzajúcich vektorov 1,7320 jednotiek.
Graf
Nasledujúce vektory by vyzerali ako v trojrozmernom grafe:
Pre vektor (c) vidíme, že zložka z je nulová, preto bude rovnobežná s osou úsečky. Namiesto toho je zložka z vektora (b) pozitívna, takže môžeme vidieť, ako sa zvažuje nahor. Oba vektory sú v kvadrante pozitívov, pokiaľ ide o komponent, pretože sú pozitívne a sú rovnaké.
