Taylorova séria - čo to je, definícia a koncept
Taylorova séria je séria právomocí, ktorá sa rozširuje do nekonečna, kde každá z príloh je zvýšená na silu väčšiu ako tá predchádzajúca.
Každý prvok Taylorovho radu zodpovedá n-tej derivácii funkcie f hodnotenej v bode a medzi faktoriálom n (n!). A to všetko, vynásobené x-a, ktoré je zdvihnuté na mocninu n.
Z formálneho alebo matematického hľadiska má Taylorova séria nasledujúcu formu:
Pre lepšie pochopenie Taylorovho radu si musíme uvedomiť, že a je bod na priamke dotýkajúcej sa funkcie f. Uvedená čiara môže byť naopak vyjadrená ako lineárna funkcia, ktorej sklon je rovnaký sklon ako funkcia f v bode a.
Ďalším aspektom, ktorý treba mať na pamäti, je, že f je diferencovateľná funkcia n-krát v bode a. Ak n je nekonečno, je to nekonečne diferencovateľná funkcia.
V konkrétnom prípade, keď a = 0, sa séria nazýva aj McLaurinova séria.
Rozdiel medzi radom a Taylorovým polynómom
Rozdiel medzi radom a Taylorovým polynómom je v tom, že v prvom prípade hovoríme o nekonečnej postupnosti, zatiaľ čo v druhom prípade ide o konečnú sériu.
Taylorov polynom možno teda definovať ako polynomiálnu aproximáciu funkcie n-krát diferencovateľnej v konkrétnom bode (a).
Príklady Taylorových sérií
Niektoré príklady variácií série Taylor sú:
- Exponenciálna funkcia:
- Trigonometrické funkcie:
Aplikácie Taylorovho radu
Niektoré aplikácie série Taylor sú:
- Analýza limitov.
- Analýza stacionárnych bodov alebo bodov kresiel vo funkciách.
- Aplikácia v teoréme L'Hopital (na riešenie limitov).
- Integrálny odhad.
- Odhad konvergencií a divergencií určitých sérií.
- Analýza finančných aktív a produktov, keď je cena vyjadrená ako nelineárna funkcia.
