Štandardná odchýlka alebo štandardná odchýlka je opatrenie, ktoré poskytuje informácie o priemernom rozptyle premennej. Štandardná odchýlka je vždy väčšia alebo rovná nule.
Aby sme pochopili tento pojem, musíme analyzovať 2 základné pojmy.
- Matematické očakávanie, očakávaná hodnota alebo priemer: Je to priemer z našej série údajov.
- Odchýlka: Odchýlka je oddelenie, ktoré existuje medzi ľubovoľnou hodnotou série a strednou hodnotou.
Po porozumení týmto dvom pojmom sa teraz štandardná odchýlka vypočíta podobne ako priemer. Ale brať odchýlky ako hodnoty. A hoci je táto úvaha intuitívna a logická, má chybu, ktorú si overíme v nasledujúcom grafe.
Na predchádzajúcom obrázku máme 6 pozorovaní, to znamená N = 6. Stredná hodnota pozorovaní je predstavovaná čiernou čiarou umiestnenou v strede grafu a má hodnotu 3. Odchýlkou pochopíme rozdiel, ktorý existuje medzi ľubovoľným pozorovaní a čierna čiara. Máme teda 6 odchýlok.
- Odchýlka -> (2-3) = -1
- Odchýlka -> (4-3) = 1
- Odchýlka -> (2-3) = -1
- Odchýlka -> (4-3) = 1
- Odchýlka -> (2-3) = -1
- Odchýlka -> (4-3) = 1
Ako vidíme, ak pripočítame 6 odchýlok a vydelíme N (6 pozorovaní), výsledok je nula. Logikou by bolo, že stredná odchýlka bude 1. Ale matematická charakteristika priemeru vzhľadom na hodnoty, ktoré ho tvoria, je presne to, že súčet odchýlok je nulový. Ako to napravíme? Druhá mocnina odchýlok
PoradieVzorce na výpočet štandardnej odchýlky
Prvým je umocnenie odchýlok, vydelenie celkovým počtom pozorovaní a nakoniec druhá odmocnina, aby sa štvorček vrátil späť, takže:
Alternatívne by bol iný spôsob výpočtu. Išlo by o priemer súčtu absolútnych hodnôt odchýlok. To znamená použiť nasledujúci vzorec:
Tento vzorec však nie je alternatívou k štandardnej odchýlke, pretože poskytuje odlišné výsledky. Vyššie uvedený vzorec je v skutočnosti odchýlkou od priemeru. Štandardná alebo štandardná odchýlka a odchýlka od priemeru majú podobnosti, ale nie sú rovnaké. Táto posledná forma je známa ako stredná odchýlka.
Príklad výpočtu štandardnej odchýlky
Chystáme sa skontrolovať, či je pri ktorejkoľvek z uvedených dvoch vzorcov výsledok štandardnej odchýlky alebo strednej odchýlky rovnaký.
Podľa rozptylového vzorca (druhá odmocnina):
Podľa vzorca absolútnej hodnoty:
Rovnako ako to určoval intuitívny výpočet. Priemerná odchýlka je 1. Ale nehovorili sme, že vzorec pre absolútnu hodnotu a štandardnú odchýlku dával rôzne hodnoty? Áno, ale existuje výnimka. Jediným prípadom, keď štandardná odchýlka a odchýlka od priemeru poskytujú rovnaký výsledok, je prípad, keď sú všetky odchýlky rovné 1.
Vzťah štandardnej odchýlky k odchýlke
Stručne povedané, rozptyl nie je nič iné ako štvorcová štandardná odchýlka. Alebo čo dôjde k rovnakej veci, štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu. Súvisia takto:
Po tomto obrázku je zrejmé, že celý vzorec, ktorý je v druhej odmocnine, je odchýlka. Dôvod, prečo musíte pochopiť, že táto časť je známa ako variancia, je tá, že sa používa v iných vzorcoch na výpočet ďalších mier. Aj keď je štandardná odchýlka pri interpretácii výsledkov intuitívnejšia, je nevyhnutné, ako sa odchýlka počíta.