Lineárna kombinácia vektorov nastane, keď vektor možno vyjadriť ako lineárna funkcia iných vektorov, ktoré sú lineárne nezávislé.
Inými slovami, lineárna kombinácia vektorov spočíva v tom, že vektor je možné vyjadriť ako lineárna kombinácia iných vektorov, ktoré sú navzájom lineárne nezávislé.
Požiadavky na lineárnu kombináciu vektorov
Lineárna kombinácia vektorov musí spĺňať dve požiadavky:
- Že vektor je možné vyjadriť ako lineárna kombinácia iných vektorov.
- Nech tieto ďalšie vektory sú navzájom lineárne nezávislé.
Lineárna kombinácia v počte
V základnej matematike sme zvyknutí často vidieť lineárne kombinácie bez toho, aby sme si to uvedomovali. Napríklad čiara je kombináciou jednej premennej vzhľadom na druhú, takže:
Ale korene, logaritmy, exponenciálne funkcie … už nie sú lineárne kombinácie, pretože proporcie nezostávajú konštantné pre celú funkciu:
Pokiaľ teda hovoríme o lineárnej kombinácii vektorov, bude mať štruktúra rovnice tento tvar:
Keď hovoríme o vektoroch a predchádzajúca rovnica sa týka premenných, na vytvorenie kombinácie vektorov stačí premenné nahradiť vektormi. Nech sú nasledujúce vektory:
Môžeme ich teda napísať ako lineárne kombinácie nasledovne:
Vektory sú na sebe lineárne nezávislé.
Grécky list lambda funguje ako parameter m vo všeobecnej rovnici priamky. Lambda bude akékoľvek reálne číslo a ak sa nezobrazí, jeho hodnota sa rovná 1.
To, že vektory sú lineárne nezávislé, znamená, že žiadny z vektorov nemôže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia ostatných. Je známe, že nezávislé vektory tvoria základ priestoru a do tohto priestoru patrí aj závislý vektor.
Príklad rovnobežnostenu
Predpokladáme, že máme tri vektory a chceme ich vyjadriť ako lineárnu kombináciu. Vieme tiež, že každý vektor pochádza z rovnakého vrcholu a predstavuje úsečku tohto vrcholu. Geometrický útvar je rovnobežnosten. Pretože nás informujú, že geometrický útvar, ktorý tieto vektory tvoria, je úsečkou rovnobežnostenu, potom vektory vymedzujú tváre útvaru.
Najskôr musíme vedieť, či sú vektory lineárne závislé. Ak sú vektory lineárne závislé, potom z nich nemôžeme vytvoriť lineárnu kombináciu.
Tri vektory:
Ako môžeme zistiť, či sú vektory lineárne závislé, ak nám neposkytujú informácie o svojich súradniciach?
No, pomocou logiky. Keby boli vektory lineárne závislé, potom by sa zrútili všetky tváre rovnobežnostenu. Inými slovami, boli by rovnakí.
Preto môžeme vyjadriť nový vektor w ako výsledok lineárnej kombinácie predchádzajúcich vektorov:
Vektor, ktorý predstavuje kombináciu predchádzajúcich vektorov:
Graficky:
