Variačno-kovariančná matica je štvorcová matica dimenzie nxm, ktorá zhromažďuje odchýlky v hlavnej uhlopriečke a kovariancie v prvkoch mimo hlavnej uhlopriečky.
Inými slovami, variančno-kovariančná matica je matica, ktorá má rovnaký počet riadkov a stĺpcov a má rozptyly distribuované na hlavnej uhlopriečke a kovariancie na prvkoch mimo hlavnej uhlopriečky.
KovarianciaMaticová reprezentácia
Variačno-kovariančná matica sa zvyčajne vyjadruje ako
Aj keď sa zdá, že je to symbol súčtu, a že nemá žiadny vzťah k matici variance-kovariančnej matice, toto grécke písmeno dokonale predstavuje obsah tejto matice.
Aby sme tomu porozumeli, pozrime sa najskôr na jeho výraz:
Vediac, že existuje m stĺpce, elipsa označuje, že stĺpce medzi druhým a posledným stĺpcom boli vynechané. Podobne s vedomím, že existuje n riadky, elipsa označuje, že riadky medzi druhým a posledným riadkom boli vynechané.
V tomto prípade použijeme sigmu na predstavenie kovariancií a sigma na druhú pre odchýlky. Ako príklad:
Aké grécke písmeno sa objavuje vo všetkých prvkoch matice? Sigma.
Je teda logické, že na definovanie variančno-kovariančnej matice sa používa aj sigma.
Grécky list
je kapitálová forma
Takže ak si spomenieme, že variančno-kovariančná matica je vyjadrená ako veľké písmeno sigmy, ľahšie si zapamätáme jej definíciu.
Požiadavky na to, aby to bola variančno-kovariančná matica
Požiadavky na to, aby matica bola variančno-kovariančná, sú nasledujúce:
- Štvorcová matica: rovnaký počet riadkov (n) ako stĺpce (m), potom n = m, a preto možno rozmer tejto matice vyjadriť ako nxm, tak aj nxn.
- V hlavná uhlopriečka existujú odchýlky:
- Mimo hlavnej uhlopriečky existujú kovariancie:
App
Variačno-kovariančná matica je v ekonometrii veľmi populárna, pretože sa používa predovšetkým pri maticovom výpočte koeficientov lineárnej regresie pomocou bežných najmenších štvorcov.
Vo finančníctve sa používa na získanie všeobecného obrazu o volatilite finančných aktív.
Matematické vyjadrenie odchýlky a kovariancie
Matematika sa vyjadruje takto:
- Kovariancia prvku n = 1 am = 2
- Rozptyl prvku n = 1 am = 1
Je možné opraviť rozptyl aj kovarianciu. To znamená, že menovateľ je n-1 namiesto n. Je to spôsobené stupňami voľnosti a závisí to od toho, či hovoríme o populačných alebo vzorkových variantoch a kovarianciách.