Termín konkávny sa používa na označenie povrchu, ktorý má vnútorné zakrivenie, ktorého stredná časť je najviac zahĺbená alebo najhlbšia.
Preto hovoríme, že kopec alebo prekážka, ako je tá, ktorú možno vidieť na cestách obmedzujúcich rýchlosť, je vydutá.
Rovnako je možné analyzovať, či existujú geometrické obrazce, ktoré sú tiež konkávne. Napríklad konkávna krivka je krivka s obráteným tvarom U. Jedným zo spôsobov, ako si ľahko zapamätať, ako vyzerá konkávna funkcia, je smutná tvár.
Aj keď sme použitie konkávnosti použili vo vzťahu ku krivke, pravdou je, že je použiteľná aj pre matematické funkcie a polygóny, ako uvidíme neskôr.
Ako zistiť, či je funkcia konkávna?
Ak je druhá derivácia funkcie v bode menšia ako nula, potom je funkcia v tomto bode konkávna.
Vyššie uvedené možno vyjadriť nasledovne:
f »(x) <0
Napríklad máme funkciu f (x) = -x2 + 2x + 5. Jeho prvá derivácia je f '(x) = -2x +2 a jej druhá derivácia by bola f »(x) = -2. Preto funkcia f (x) = x2 + x + 3 je konkávne pre každú hodnotu x, ako vidíme na nasledujúcom grafe, čo je parabola:
Teraz si predstavme túto ďalšiu funkciu f (x) = x3-5x2 +7. Jeho prvá derivácia f '(x) = 3x2 -10x a jeho druhá derivácia f »(x) = 6x -10. Keď máme vypočítanú druhú deriváciu, musíme skontrolovať, aké hodnoty x sú funkcie konvexné.
Druhú deriváciu sme teda nastavili na 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Preto je funkcia konkávna, keď x je menšie ako 1,67, pretože druhá derivácia rovnice je záporná. Môžeme to skontrolovať nahradením rôznych hodnôt x. Rovnako je funkcia konvexná, keď x je väčšie ako 1,67, ako vidíme na obrázku nižšie:
Konkávny polygón
Konkávny mnohouholník je taký, kde na spojenie dvoch jeho bodov je potrebné nakresliť rovnú čiaru, ktorá je mimo obrazca (vonkajšia uhlopriečka). Aspoň jeden z jeho vnútorných uhlov je tiež väčší ako 180 °. Ide napríklad o konkávny štvoruholník, ako je ten, ktorý vidíme nižšie:
Opakom konkávneho mnohouholníka je konvexný. Toto je ten, kde sú všetky vnútorné uhly menšie ako 180 °. Ak chcete spojiť akékoľvek dva body na obrázku, je možné nakresliť rovnú čiaru, ktorá zostáva v polygóne.