Spoločné rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti priesečníka realizácií akýchkoľvek dvoch alebo viacerých náhodných premenných.
Inými slovami, spoločné rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, že dve alebo viac náhodných premenných vznikne, keď dôjde k ich realizácii súčasne.
Zastúpenie pre spoločnú distribúciu
Ak sú zapojené iba dve náhodné premenné, nazýva sa to bivariantné rozdelenie, pretože existujú dve náhodné premenné. V prípade, že máme viac premenných, dalo by sa to nazvať multivariačné.
Dlhý názov pre spoločnú distribúciu je spoločné rozdelenie pravdepodobnosti. Názov je skrátený, pretože je už známe, že tieto distribúcie sú pravdepodobné. V angličtine sa to nazýva „joint distribution“.
Ak vezmeme do úvahy, že existujú diskrétne náhodné premenné a spojité náhodné premenné, bude tento rozdiel prítomný aj pre spoločné rozdelenia.
Spoločné rozdelenie pre diskrétne náhodné premenné
Nech dve samostatné náhodné premenné sú X a W a realizácie X a W sú x a w. Potom (X, W) bude mať spoločné rozdelenie z funkcie hustoty pravdepodobnosti kĺbu (X, W).
Spoločná funkcia hustoty pravdepodobnosti (fdpc)
Fdpc nám dáva pravdepodobnosť, že realizácia x a realizácia w nastanú súčasne. Aby sme vedeli pravdepodobnosť tejto udalosti, musíme vynásobiť pravdepodobnosť x podmienenú na w pravdepodobnosťou, že dôjde k x. Inými slovami, pravdepodobnosť, že nastane w, je daná x a pravdepodobnosť, že nastane x. Týmto spôsobom získame spoločnú pravdepodobnosť x a w.
Pretože máme dve premenné, môžeme pdf vyjadrovať z pohľadu náhodnej premennej X alebo z pohľadu náhodnej premennej W.
Plní sa tým:
Toto obmedzenie spočíva v tom, že súčet spoločných pravdepodobností musí dať 1, pretože ide o pravdepodobnosti, ktoré sú vždy medzi 0 a 1.
Spoločné rozdelenie pre spojité náhodné premenné
Nech X a W sú dve spojité náhodné premenné a realizácie X a W sú x a w. Potom (X, W) bude mať spoločné rozdelenie z funkcie hustoty pravdepodobnosti kĺbu (X, W).
Spoločná funkcia hustoty pravdepodobnosti (fdpc)
Logika pre spojitý prípad je rovnaká ako pre diskrétny prípad.
Tieto funkcie sa nazývajú funkcie hraničnej hustoty pravdepodobnosti. Prvý pre náhodnú premennú X a druhý pre náhodnú premennú W.
Napĺňam to
Toto obmedzenie spočíva v tom, že súčet spoločných pravdepodobností musí dať 1, pretože ide o pravdepodobnosti, ktoré sú vždy medzi 0 a 1.
App
V ekonómii je veľmi bežné, že udalosti zahŕňajú viac ako jednu náhodnú premennú, preto vzniká potreba analyzovať, ako sú tieto premenné distribuované v rovnakom rozdelení.