Binomické rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré popisuje počet úspechov pri uskutočňovaní n nezávislých experimentov na náhodnej premennej..
Existuje veľké množstvo experimentov alebo udalostí, ktoré možno charakterizovať pri tomto rozdelení pravdepodobnosti. Predstavte si losovanie, v ktorom definujeme udalosť „bijúcu do hláv“ ako úspech. Ak hodíme mincou 5-krát a spočítame dosiahnuté zásahy (hlavy), naše rozdelenie pravdepodobnosti by sa zmestilo do binomického rozdelenia.
Binomické rozdelenie sa preto chápe ako séria testov alebo testov, v ktorých môžeme mať iba 2 výsledky (úspech alebo neúspech), pričom úspech je naša náhodná premenná.
Vlastnosti binomického rozdelenia
Aby sa náhodná premenná mohla riadiť binomickým rozdelením, musí spĺňať nasledujúce vlastnosti:
- V každej skúške, experimente alebo teste sú možné iba dva výsledky (úspech alebo neúspech).
- Pravdepodobnosť úspechu musí byť stála. To predstavuje písmeno p. Pravdepodobnosť prevrátenia hláv mincou je 0,5 a je konštantná, pretože mince sa nemení v každom experimente a pravdepodobnosť hláv je konštantná.
- Pravdepodobnosť poruchy musí byť tiež konštantná. To predstavuje písmeno q = 1-p. Je dôležité si uvedomiť, že pomocou tejto rovnice, keď poznáme p alebo q, môžeme získať tú, ktorá nám chýba.
- Výsledok získaný v každom experimente je nezávislý od predchádzajúceho. Preto to, čo sa stane v každom experimente, nemá vplyv na nasledujúce.
- Udalosti sa navzájom vylučujú, to znamená, že sa nemôžu vyskytnúť súčasne. Nie je možné byť súčasne mužom a ženou alebo že pri hádzaní mincou vyjdú hlavy a chvosty súčasne.
- Udalosti sú kolektívne vyčerpávajúce, to znamená, že musí nastať aspoň jedna z dvoch udalostí. Ak nie ste muž, ste žena a ak hodíte mincou, ak nevytvára hlavy, musí to byť chvost.
- Náhodná premenná, ktorá nasleduje po binomickom rozdelení, je zvyčajne reprezentovaná ako X ~ (n, p), kde n predstavuje počet pokusov alebo experimentov ap pravdepodobnosť úspechu.
Vzorec binomického rozdelenia
Vzorec na výpočet normálneho rozdelenia je:
Kde:
n = počet pokusov / experimentov
x = počet úspechov
p = Pravdepodobnosť úspechu
q = Pravdepodobnosť poruchy (1-p)
Je dôležité si uvedomiť, že výraz v hranatých zátvorkách nie je maticovým výrazom, ale je výsledkom kombinatorika bez opakovania. Toto sa získa pomocou nasledujúceho vzorca:
Vykričník v predchádzajúcom výraze predstavuje faktoriálny symbol.
Príklad binomického rozdelenia
Predstavme si, že 80% ľudí na svete videlo finálový zápas posledného futbalového svetového pohára. Po udalosti sa stretnú 4 priatelia, aby sa porozprávali. Aká je pravdepodobnosť, že 3 z nich videli túto hru?
Definujme premenné experimentu:
n = 4 (je celková vzorka, ktorú máme)
x = počet úspechov, ktorý sa v tomto prípade rovná 3, pretože hľadáme pravdepodobnosť, že ho videli 3 zo 4 priateľov.
p = pravdepodobnosť úspechu (0,8)
q = pravdepodobnosť poruchy (0,2). Tento výsledok sa získa odpočítaním 1-p.
Po definovaní všetkých našich premenných jednoducho dosadíme do vzorca.
Čitateľ faktoriálu by sa získal vynásobením 4 * 3 * 2 * 1 = 24 a v menovateli by sme mali 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Preto by výsledok faktoriálu bol 24/6 = 4 .
Mimo zátvorky máme dve čísla. Prvý by bol 0,8 3 = 0,512 a druhý 0,2 (pretože 4-3 = 1 a akékoľvek číslo zvýšené na 1 je rovnaké).
Preto by náš konečný výsledok bol: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Ak vynásobíme 100, máme 40,96% pravdepodobnosť, že 3 zo 4 priateľov videli finálový zápas majstrovstiev sveta.