Matematické očakávanie náhodnej premennej X je číslo, ktoré vyjadruje strednú hodnotu javu, ktorý táto premenná predstavuje.
Matematické očakávanie, ktoré sa tiež nazýva očakávaná hodnota, sa rovná súčtu pravdepodobností, že náhodná udalosť existuje, vynásobené hodnotou náhodnej udalosti. Inými slovami, ide o strednú hodnotu súboru údajov. Toto, berúc do úvahy, že pojem matematické očakávanie vytvoril teória pravdepodobnosti.
Zatiaľ čo v matematike sa priemerná hodnota udalosti, ktorá sa stala, nazýva matematický priemer. V diskrétnych rozdeleniach s rovnakou pravdepodobnosťou v každom prípade je aritmetický priemer rovnaký ako matematické očakávanie.
Príklad matematického očakávania
Pozrime sa na jednoduchý príklad na jeho pochopenie.
Poďme si predstaviť mincu. Dve hlavy, hlavy a chvosty. Aké by bolo matematické očakávanie (očakávaná hodnota), že vyjde z hlavy?
Matematické očakávanie by sa počítalo ako pravdepodobnosť, že pri veľmi veľkom otočení mince sa objaví hlava.
Pretože minca môže pristáť iba v jednej z týchto dvoch pozícií a obe majú rovnakú pravdepodobnosť, že vyjdú, povieme, že matematické očakávanie, že vyjde z hlavy, je jedna z dvoch, alebo čo je rovnaké, 50% z čas.
Ideme na test a ideme 10x hodiť mincou. Predpokladajme, že minca je dokonalá.
Točenia a výsledok:
- Drahé.
- Kríž.
- Kríž.
- Drahé.
- Kríž.
- Drahé.
- Drahé.
- Drahé.
- Kríž.
- Kríž.
Koľkokrát to boli hlavy (počítame C)? 5 krát Koľkokrát chvosty vyšli (počítame X)? 5-krát. Pravdepodobnosť, že budete hlavami, bude 5/10 = 0,5 alebo ako percento 50%.
Len čo k tejto udalosti došlo, môžeme vypočítať matematický priemer počtu výskytov každej udalosti. Drahá strana vyšla raz za dva razy, teda 50% času. Priemer sa zhoduje s matematickým očakávaním.
Výpočet matematického očakávania
Matematické očakávanie sa počíta z pravdepodobnosti každej udalosti. Vzorec, ktorý formalizuje tento výpočet, je uvedený takto:
Kde:
- X = hodnota udalosti.
- P = Pravdepodobnosť, že sa stane.
- i = Obdobie, v ktorom nastane táto udalosť.
- N = Celkový počet období alebo pozorovaní.
Pravdepodobnosť výskytu udalosti nie je vždy rovnaká ako v prípade mincí. Existuje nespočetné množstvo prípadov, keď jedna udalosť vyjde pravdepodobnejšie ako iná. Preto používame P. Vo vzorci musíme pri výpočte matematických čísel tiež vynásobiť hodnotou udalosti. Nižšie vidíme príklad.
Na čo sa používa matematické očakávanie?
Matematické očakávanie sa používa vo všetkých disciplínach, v ktorých je im pravdepodobná udalosť vlastná. Disciplíny ako teoretická štatistika, kvantová fyzika, ekonometria, biológia alebo finančné trhy. Veľké množstvo procesov a udalostí, ktoré sa vyskytujú vo svete, sú nepresné. Jasným a ľahko pochopiteľným príkladom je trh s akciami.
Na trhu s akciami sa všetko počíta na základe očakávaných hodnôt, prečo očakávané hodnoty? Pretože dúfame, že sa to stane, ale nemôžeme to potvrdiť. Všetko je založené na pravdepodobnostiach, nie na istotách. Ak je očakávaná hodnota alebo matematické očakávanie návratnosti aktíva 10% ročne, znamená to, že na základe informácií, ktoré máme z minulosti, je najpravdepodobnejšia návratnosť 10%. Ak samozrejme vezmeme do úvahy iba matematické očakávanie ako metódu prijímania našich investičných rozhodnutí.
V rámci teórií finančného trhu mnohí používajú tento koncept matematického očakávania. Medzi tieto teórie patrí aj tá, ktorú Markowitz vyvinul na efektívnych peňaženkách.
V číslach, veľa zjednodušene predpokladajme, že výnosy finančného aktíva sú nasledujúce:
Ziskovosť v rokoch 1, 2, 3 a 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Očakávanou hodnotou by bol súčet výnosov vynásobený ich pravdepodobnosťou uskutočnenia. Pravdepodobnosť, že sa každá ziskovosť „stane“, je 0,25. Máme štyri pozorovania, štyri roky. Každý rok majú rovnakú pravdepodobnosť opakovania.
Nádej = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Ak vezmeme do úvahy tieto informácie, povieme, že očakávaná návratnosť majetku je 11,25%.
Dĺžka života