Bernoulliho distribúcia je teoretický model používaný na vyjadrenie diskrétnej náhodnej premennej, ktorá sa môže skončiť iba dvoma vzájomne sa vylučujúcimi výsledkami.
Odporúčané články: ukážkový priestor, Bernoulliho distribúcia a Laplaceov zákon.
Bernoulliho príklad
Predpokladáme, že sme veľmi fanúšikmi jazdca v cyklistickej súťaži, v ktorej súťažia iba dvaja jazdci. Chceme sa staviť, že broker zvíťazí.
Ak teda vyhráte, bude to výsledok „úspechu“ a ak prehráte, bude to výsledok „bez úspechu“. Schematicky:
Tento príklad sme považovali za dichotomický prípad. To znamená, že existujú iba dva možné výsledky (na zjednodušenie situácie). V teoretických knihách nájdeme typický príklad hodenia neoklamanej mince, ktoré spočíva v získaní hláv alebo chvostov. Pretože už neexistujú ďalšie možné výsledky, získanie parametra p sa stane elementárnym.
V našom príklade sprostredkovateľa sme mohli považovať za „neúspešné“ aj získanie akejkoľvek pozície okrem prvého miesta. Potom by sa zmenil parameter p a bol by to počet prípadov, kedy môže byť sprostredkovateľ najskôr vydelený počtom celkových pozícií. Schematicky:
Tu sa parameter p na prvý pohľad nezdá veľmi zrejmý, ale ide iba o uplatnenie Laplaceovho zákona.
Predpokladáme, že existuje iba 10 pozícií, na ktorých môže bežec v pretekoch získať iba jednu z nich. Potom,
Cvičenie
Vypočítajte funkciu distribúcie bežcov v súťaži 10 bežcov.
Bernoulliho distribučná funkcia
- Prístup.
Definujeme dve hodnoty, ktoré môže mať náhodná premenná, ktorá nasleduje po Bernoulliho distribúcii.
Z = 1, ak pretekár zvíťazí v súťaži = 1. miesto = ÚSPECH.
Z = 0, ak bežec prehrá súťaž = nie 1. miesto = NEDOSTAČENÉ.
- Priradenie a výpočet pravdepodobností.
Keď sme definovali hodnoty Z, priradíme pravdepodobnosti výsledku experimentu:
Vyššie v príklade sme už vypočítali pravdepodobnosti pomocou Laplaceovho zákona. Výsledkom bolo, že p = 1/10 a (1-p) = 0,9.
- Výpočet distribučnej funkcie.
Teraz stačí nahradiť predchádzajúce premenné vo vzorci distribučnej funkcie.
Vidíme, že predchádzajúce výrazy je možné vyjadriť aj takto:
Vidíme, že pri použití jedného alebo druhého spôsobu bude pravdepodobnosť úspechu, teda pravdepodobnosť, že bežec vyhrá súťaž, vždy p = 1/10 a pravdepodobnosť neúspechu, teda pravdepodobnosť, že prehrá. súťaž bude tiež vždy (1-p) = 9/10.
Bežec teda sleduje Bernoulliho rozdelenie s pravdepodobnosťou p = 0,1:
