Vasicov model je jednofaktorový rovnovážny model úrokových sadzieb založený na Brownovom geometrickom procese, ktorý zohľadňuje strednú obrátku a časovú štruktúru úrokových sadzieb.
Inými slovami, model Vasicek sa používa na predpovedanie dlhodobých úrokových mier simuláciou krátkodobých úrokových mier. Ďalej berie do úvahy, že úrokové sadzby sa v rôznych časových obdobiach líšia (časová štruktúra úrokových sadzieb).
Modely rovnovážnej úrokovej sadzby používajú krátkodobejšie úrokové sadzby na výpočet budúcich úrokových mier s prihliadnutím na časovú štruktúru úrokových sadzieb.
Na zostrojenie výnosovej krivky potrebujeme krátkodobé úrokové sadzby a parametre modelu. Keď budeme mať krátkodobé úrokové sadzby a parametre, môžeme vypočítať dlhodobé úrokové sadzby.
Na výpočet budúcich cien dlhopisov s nulovým kupónom teda potrebujeme krátkodobé úrokové sadzby s nulovým kupónom. Takto môžeme zostaviť aj krivku alebo časovú štruktúru úrokových sadzieb s nulovým kupónom. Keď už máme krivku, určíme vývoj dlhodobých úrokových sadzieb vzhľadom na krátkodobé úrokové sadzby.
Vzorec modelu Vasicek: Cena obligácie s nulovým kupónom.
Analytické riešenie na zistenie ceny dlhopisu s nulovým kupónom, ktorý platí 1 € pri splatnosti (T) v akomkoľvek časovom období (t) a pri krátkodobej úrokovej sadzbe (r (t)).
Nepanikár!
Potrebujeme iba:
- Časové obdobie, v ktorom chceme poznať úrokové sadzby, teda T.
- Okamžik času, v ktorom sme teraz, alebo začiatočný okamih, ktorý chceme, teda t.
- Krivka krátkodobého úroku, to znamená r (T) alebo rT . Ak by sme chceli v počiatočnom období vyjadriť úrokové sadzby, použili by sme r (T) alebo rT.
- V týchto vzorcoch budeme s parametrami a, b a s zaobchádzať ako s konštantami v čase.
- Štandardná odchýlka, s.
Na výpočet ceny dlhopisu s nulovým kupónom, ktorý platí v splatnosti (T) 1 € v ľubovoľnom časovom období (t), musíme dať iba hodnoty parametrom a, b a s a simulovať krátkodobé úrokové sadzby (r (t)).
Zastúpenie modelu Vasicek: Cena dlhopisu s nulovým kupónom
P (t, T) predstavuje cenu dlhopisu od času t do T.
Takže … Budú ceny dlhopisov vždy také?
Vôbec nie, ako sme povedali na začiatku, úrokové sadzby závisia od Brownovho geometrického procesu, a preto implikujú prítomnosť náhodnej zložky N (0,1). Takže zakaždým, keď vypočítame vyššie uvedené vzorce, krátkodobé sadzby sa zmenia a takisto aj dlhodobé úrokové sadzby, ceny dlhopisov a ich zastúpenie.
Pomocou nasledujúcich vzorcov nájdeme r (T) a R (T).
Vzorec modelu Vasicek: Krátkodobé úrokové sadzby
Vzorec krátkodobej úrokovej sadzby (rT):
Vzorec dlhodobej úrokovej sadzby (R.T):
Zastúpenie modelu Vasicek: krivka úrokovej sadzby
