Rovnovážné modely úrokových sadzieb

Rovnovážne modely úrokových sadzieb sú rovnovážne modely založené na Brownovom geometrickom procese a na rizikovej neutralite krátkodobých úrokových mier.

Inými slovami, modely rovnovážnej úrokovej sadzby používajú krátkodobejšie úrokové sadzby na výpočet budúcich úrokových mier s prihliadnutím na časovú štruktúru úrokových sadzieb.

Ako referenciu pre krátkodobé úrokové sadzby použijeme úrokové sadzby EUR dlhopisy s nulovým kupónom. Príkladom môžu byť krátkodobé španielske štátne pokladničné poukážky.

Odporúčané položky: obligácia s nulovým kupónom, opčná a priemerná reverzia.

Časová štruktúra cien dlhopisov s nulovým kupónom sa získava z Brownovho geometrického procesu, ktorý zachytáva nekonečne malé zmeny krátkodobých úrokových mier.

Ceny dlhopisov s nulovým kupónom sa používajú na ocenenie ceny opcií na dlhopisy s nulovým kupónom a opcií na kupóny s dlhopismi.

Na výpočet budúcich cien dlhopisov s nulovým kupónom teda potrebujeme krátkodobé úrokové sadzby s nulovým kupónom. Takto môžeme zostaviť aj krivku alebo časovú štruktúru úrokových sadzieb s nulovým kupónom. Len čo máme krivku, môžeme určiť vývoj dlhodobých úrokových sadzieb vzhľadom na krátkodobé úrokové sadzby.

Termínová štruktúra alebo úroková krivka dlhopisov s nulovým kupónom vypočítaná z modelu Vasicek:

Predpoklady rovnovážneho modelu týkajúce sa úrokových sadzieb

Predpoklady modelu sú:

• Neutralita rizika.

Neutrálne riziko preberáme ako klasický predpoklad pre oceňovanie aktív na finančných trhoch. Tento predpoklad je kľúčom k získaniu ceny dlhopisu pomocou simulácie Monte Carlo.

• Log-normálne rozdelenie dlhopisov a úrokové sadzby.

Predpokladáme log-normálne rozdelenie, pretože úrokové sadzby považujeme za pozitívnu premennú, ako sú ceny dlhopisov. Nemalo by zmysel hodnotiť dlhopisy so zápornou cenou. Za predpokladu log-normálneho rozdelenia úrokových sadzieb môžeme povedať, že úrokové sadzby budú nasledovať Brownov geometrický proces. Ak by rozdelenie úrokových sadzieb bolo normálne rozdelenie, potom by sme povedali, že úrokové sadzby sa riadia Brownovým aritmetickým procesom.

Jednofaktorové rovnovážné modely

Jednofaktorové rovnovážné modely sú modely na výpočet časovej štruktúry úrokových sadzieb z krátkodobých úrokových mier.

Hovoríme o jednom faktore, pretože riziko alebo neistota je dané jediným faktorom: volatilita úrokových sadzieb. Existujú modely dvojfaktorovej rovnováhy, ktoré poskytujú viac možností pohybu úrokových sadzieb.

Matematicky definujeme jednofaktorový rovnovážny model formy:

Kde,

• r (t): krátkodobé úrokové sadzby v okamihu času t.
• dr: zmena úrokových sadzieb (r) v priebehu času (dt).
• dt: plynutie času = vývoj času.
• m (r) dt: smer alebo trend (m) zaujatý úrokovými sadzbami (r) v priebehu času (dt).
• s (r): štandardná odchýlka úrokových sadzieb (r).
• dZ: náhodná zložka alebo porucha, ktorá nasleduje po normálnom rozdelení so strednou hodnotou 0 a rozptylom 1.

Vyššie uvedený výraz je známy ako a stochastická diferenciálna rovnica vyjadrené prostredníctvom procesu Itô.

Typy modelov

Najbežnejšie modely jednofaktorovej rovnováhy sú:

• Model Rendlemana a Barttera.
• Model Vasicek.
• Cox, Ingresoll a Ross model.