Normálne rozdelenie - čo to je, definícia a koncept

Normálne rozdelenie je teoretický model schopný uspokojivo aproximovať hodnotu náhodnej premennej na ideálnu situáciu.

Inými slovami, normálne rozdelenie zodpovedá náhodnej premennej funkcii, ktorá závisí od priemeru a štandardnej odchýlky. To znamená, že funkcia a náhodná premenná budú mať rovnaké zastúpenie, ale s malými rozdielmi.

Spojitá náhodná premenná môže mať akékoľvek reálne číslo. Napríklad výnosy akcií, výsledky testov, IQ a štandardné chyby sú nepretržité náhodné premenné.

Diskrétna náhodná premenná nadobúda prirodzené hodnoty. Napríklad počet študentov na univerzite.

Normálne rozdelenie je základom pre ďalšie distribúcie, ako je Studentovo t rozdelenie, chí-kvadrát distribúcia, Fisherovo F rozdelenie a ďalšie distribúcie.

Vzorec normálneho rozdelenia

Vzhľadom na náhodnú premennú X hovoríme, že frekvenciu jej pozorovaní možno uspokojivo priblížiť k normálnemu rozdeleniu tak, že:

Ak sú parametrami distribúcie stredná alebo stredná hodnota a štandardná odchýlka:

Inými slovami, hovoríme, že frekvencia náhodnej premennej X môže byť reprezentovaná normálnym rozdelením.

Zastúpenie

Funkcia hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej, ktorá nasleduje po normálnom rozdelení.

Vlastnosti

• Je to symetrické rozdelenie. Hodnota priemeru, mediánu a režimu sa zhoduje. Matematicky

Priemer = Medián = Režim

• Unimodálna distribúcia. Hodnoty, ktoré sú častejšie alebo ktoré sa pravdepodobnejšie objavia, sú zhruba priemerné. Inými slovami, keď sa vzdialime od priemeru, pravdepodobnosť výskytu hodnôt a ich frekvencia klesá.

Čo potrebujeme na reprezentáciu normálneho rozdelenia?

• Náhodná premenná.
• Vypočítajte priemer.
• Vypočítajte štandardnú odchýlku.
• Rozhodnite sa o funkcii, ktorú chceme reprezentovať: funkciu hustoty pravdepodobnosti alebo distribučnú funkciu.

Teoretický príklad

Predpokladáme, že chceme vedieť, či môžu výsledky testu uspokojivo priblížiť normálne rozdelenie.

Vieme, že tohto testu sa zúčastňuje 476 študentov a že výsledky sa môžu pohybovať od 0 do 10. Vypočítame priemer a štandardnú odchýlku od pozorovaní (výsledky testu).

Takže definujeme náhodnú premennú X ako skóre testu, ktoré závisia od každého jednotlivého výsledku. Matematicky

Skóre každého študenta sa zaznamená do tabuľky. Týmto spôsobom získame globálnu víziu výsledkov a ich frekvencie.

Len čo je tabuľka hotová, reprezentujeme výsledky vyšetrenia a frekvencie. Ak graf vyzerá ako predchádzajúci obrázok a spĺňa vlastnosti, potom sa dá premenná výsledkov testu uspokojivo priblížiť k normálnemu rozdeleniu priemeru 4,8 a štandardnej odchýlke 3,09.

Môžu sa výsledky testu priblížiť k normálnemu rozdeleniu?

Dôvody, pre ktoré sa domnievame, že premenná výsledkov skúšky sa riadi normálnym rozdelením:

• Symetrické rozdelenie. To znamená, že existuje rovnaký počet pozorovaní vpravo aj vľavo od centrálnej hodnoty. Tiež priemer, stredná hodnota a režim majú rovnakú hodnotu.

Priemer = Medián = Režim = 5

• Pozorovania s najväčšou frekvenciou alebo pravdepodobnosťou sa pohybujú okolo centrálnej hodnoty. Inými slovami, pozorovania s menšou frekvenciou alebo pravdepodobnosťou nie sú ďaleko od centrálnej hodnoty.

Normálne rozdelenie popisuje náhodnú premennú aproximáciou, ktorá vedie k štandardným chybám (pruhy nad každým stĺpcom). Tieto chyby sú rozdielom medzi skutočnými pozorovaniami (výsledkami) a funkciou hustoty (normálne rozdelenie).