Normálne rozdelenie je teoretický model schopný uspokojivo aproximovať hodnotu náhodnej premennej na ideálnu situáciu.
Inými slovami, normálne rozdelenie zodpovedá náhodnej premennej funkcii, ktorá závisí od priemeru a štandardnej odchýlky. To znamená, že funkcia a náhodná premenná budú mať rovnaké zastúpenie, ale s malými rozdielmi.
Spojitá náhodná premenná môže mať akékoľvek reálne číslo. Napríklad výnosy akcií, výsledky testov, IQ a štandardné chyby sú nepretržité náhodné premenné.
Diskrétna náhodná premenná nadobúda prirodzené hodnoty. Napríklad počet študentov na univerzite.
Normálne rozdelenie je základom pre ďalšie distribúcie, ako je Studentovo t rozdelenie, chí-kvadrát distribúcia, Fisherovo F rozdelenie a ďalšie distribúcie.
Vzorec normálneho rozdelenia
Vzhľadom na náhodnú premennú X hovoríme, že frekvenciu jej pozorovaní možno uspokojivo priblížiť k normálnemu rozdeleniu tak, že:
Ak sú parametrami distribúcie stredná alebo stredná hodnota a štandardná odchýlka:
Inými slovami, hovoríme, že frekvencia náhodnej premennej X môže byť reprezentovaná normálnym rozdelením.
Zastúpenie
Funkcia hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej, ktorá nasleduje po normálnom rozdelení.
Vlastnosti
- Je to symetrické rozdelenie. Hodnota priemeru, mediánu a režimu sa zhoduje. Matematicky
Priemer = Medián = Režim
- Unimodálna distribúcia. Hodnoty, ktoré sú častejšie alebo ktoré sa pravdepodobnejšie objavia, sú zhruba priemerné. Inými slovami, keď sa vzdialime od priemeru, pravdepodobnosť výskytu hodnôt a ich frekvencia klesá.
Čo potrebujeme na reprezentáciu normálneho rozdelenia?
- Náhodná premenná.
- Vypočítajte priemer.
- Vypočítajte štandardnú odchýlku.
- Rozhodnite sa o funkcii, ktorú chceme reprezentovať: funkciu hustoty pravdepodobnosti alebo distribučnú funkciu.
Teoretický príklad
Predpokladáme, že chceme vedieť, či môžu výsledky testu uspokojivo priblížiť normálne rozdelenie.
Vieme, že tohto testu sa zúčastňuje 476 študentov a že výsledky sa môžu pohybovať od 0 do 10. Vypočítame priemer a štandardnú odchýlku od pozorovaní (výsledky testu).
Takže definujeme náhodnú premennú X ako skóre testu, ktoré závisia od každého jednotlivého výsledku. Matematicky
Skóre každého študenta sa zaznamená do tabuľky. Týmto spôsobom získame globálnu víziu výsledkov a ich frekvencie.
| Výsledky | Frekvencia |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| CELKOM | 476 |
Len čo je tabuľka hotová, reprezentujeme výsledky vyšetrenia a frekvencie. Ak graf vyzerá ako predchádzajúci obrázok a spĺňa vlastnosti, potom sa dá premenná výsledkov testu uspokojivo priblížiť k normálnemu rozdeleniu priemeru 4,8 a štandardnej odchýlke 3,09.
Môžu sa výsledky testu priblížiť k normálnemu rozdeleniu?
Dôvody, pre ktoré sa domnievame, že premenná výsledkov skúšky sa riadi normálnym rozdelením:
- Symetrické rozdelenie. To znamená, že existuje rovnaký počet pozorovaní vpravo aj vľavo od centrálnej hodnoty. Tiež priemer, stredná hodnota a režim majú rovnakú hodnotu.
Priemer = Medián = Režim = 5
- Pozorovania s najväčšou frekvenciou alebo pravdepodobnosťou sa pohybujú okolo centrálnej hodnoty. Inými slovami, pozorovania s menšou frekvenciou alebo pravdepodobnosťou nie sú ďaleko od centrálnej hodnoty.
Normálne rozdelenie popisuje náhodnú premennú aproximáciou, ktorá vedie k štandardným chybám (pruhy nad každým stĺpcom). Tieto chyby sú rozdielom medzi skutočnými pozorovaniami (výsledkami) a funkciou hustoty (normálne rozdelenie).
