Maticová kvadratická forma - čo to je, definícia a koncept

Maticový kvadratický tvar je produktom násobenia vektora rádu n s ľubovoľnou štvorcovou maticou transponovaným vektorom rádu n.

Inými slovami, maticový kvadratický tvar je lineárna kombinácia štvorcovej matice, vektora rádu n a transpozície tohto vektora.

Odporúčaný článok: operácie s maticami.

Maticový vzorec kvadratickej formy

Daná štvorcová matica Z rádu n a vektor h dimenzií n môžeme napísať výraz zvaný kvadratická forma tvaru:

Výsledkom kvadratickej formy bude vždy skalár, teda jedno číslo, nie matica.

Aplikácie

Maticový kvadratický tvar slúži na zistenie stupňa pozitivity a negativity definovaných matíc. V závislosti na hodnotách vektora h bude hodnota kvadratickej formy nula (0), kladná alebo záporná.

Len čo získame kvadratickú formu, môžeme povedať, že sme „definovali“ maticu. Môžeme teda hovoriť o určitej matici. Táto matica môže byť pozitívna určitá, pozitívna semi-definitívna, negatívna a určitá negatívna.

Praktický príklad

Nájdenie kvadratickej formy štvorcovej matice Z daný vektor h:

Proces

Najskôr transponujeme vektor h.

Potom použijeme vzorec kvadratickej formy.

Ako sme už povedali, výsledkom kvadratickej formy bude vždy jedno číslo. V tomto prípade ide o prísne kladné číslo.

Ale … Ako je možné, že výsledkom je konkrétne číslo a nie matica, ak vynásobíme matice?

Zmenšenie dimenzie matice z násobenia nastáva preto, lebo vynásobíme matice, ktoré zdieľajú rovnaký počet stĺpcov a riadkov.

Ukážka:

Z matricového produktu Z a z transponovaného vektora h zostane vektor s rozmerom 3 × 1. Rovnakým spôsobom zostáva súčin výsledného vektora a vektora h matica rozmeru 1 × 1. Matica rozmeru 1 × 1 je skalárna.

Ak teda vypočítame kvadratickú formu matice a získame maticu s rozmerom väčším ako 1 × 1 (získame iný výsledok ako konkrétne číslo), bude to znamenať, že sme sa v nejakom kroku pomýlili a že výsledok je nesprávny.