Lineárna transformácia matíc sú lineárne operácie prostredníctvom matíc, ktoré upravujú počiatočnú dimenziu daného vektora.
Inými slovami, rozmer vektora môžeme upraviť tak, že ho vynásobíme ľubovoľnou maticou.
Lineárne transformácie sú základom vektorov a vlastných čísel matice, pretože na sebe lineárne závisia.
Odporúčané články: operácie s maticami, vektormi a vlastnými hodnotami.
Matematicky
Definujeme maticuC. ktorákoľvek z dimenzií 3 × 2 vynásobená vektorom V dimenzien = 2 také, že V = (v1, v2).
Aký rozmer bude mať vektor výsledku?
Vektor, ktorý je výsledkom produktu maticeC.3×2s vektoromV.2×1bude novým vektorom V 'dimenzie 3.
Táto zmena v dimenzii vektora je spôsobená lineárnou transformáciou cez maticu C..
Praktický príklad
Vzhľadom na štvorcovú maticuR s rozmerom 2 × 2 a vektoromV. dimenzie 2.
Lineárna transformácia dimenzie vektoraV. to je:
kde počiatočná dimenzia vektora V. bola 2 × 1 a teraz konečná dimenzia vektora Vidíš3 × 1. Táto zmena dimenzie sa dosiahne vynásobením matice R.
Môžu byť tieto lineárne transformácie znázornené graficky? No samozrejme!
Budeme reprezentovať výsledný vektor V 'v rovine.
Potom:
V = (2,1)
V ‘= (6,4)
Graficky
Vlastné vektory využívajúce grafické znázornenie
Ako môžeme zistiť, že vektor je vlastným vektorom danej matice iba pri pohľade na graf?
Definujeme maticuD rozmeru 2 × 2:
Sú vektory v1= (1,0) a v2= (2,4) vlastné vektory matice D?
Proces
1. Začnime prvým vektorom v1. Urobíme predchádzajúcu lineárnu transformáciu:
Ak teda vektor v1 je vlastný vektor matice D, výsledný vektor v1„A vektor v1mali by patriť do tej istej línie.
Zastupujeme v1 = (1,0) a v1’ = (3,0).
Keďže obaja v1ako V1‘Patrí do tej istej línie, v1 je vlastný vektor matice D.
Matematicky existuje konštantah(vlastné číslo) také, aby:
2. Pokračujeme druhým vektorom v2. Opakujeme predchádzajúcu lineárnu transformáciu:
Ak teda vektor v2 je vlastný vektor matice D, výsledný vektor v2„A vektor v2 mali by patriť do rovnakého riadku (ako v grafe vyššie).
Zastupujeme v2 = (2,4) a v2’ = (2,24).
Keďže v2 a V2‘Nepatrí do tej istej línie, v2 nie je vlastným vektorom matice D.
Matematicky neexistuje žiadna konštantah(vlastné číslo) také, aby:
