Teória množín je odvetvie matematiky (a logiky), ktoré sa venuje štúdiu charakteristík množín a operácií, ktoré je možné medzi nimi vykonávať.
To znamená, že teória množín je oblasť štúdia zameraná na množiny. Preto je zodpovedný za analýzu atribútov, ktoré majú, a vzťahov, ktoré je možné medzi nimi nadviazať. Teda jeho únia, priesečník, doplnok alebo iné.
Musíme si uvedomiť, že množina je zoskupenie prvkov, či už sú to čísla, písmená, slová, funkcie, symboly, geometrické obrazce alebo iné.
Na určenie množiny sa zvyčajne definuje charakteristika, ktorú majú spoločné jej prvky. Napríklad množina A s celými číslami, kladnými a párnymi číslami menšími ako 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Dejiny teórie množín
História teórie množín sa datuje od práce Georga Cantora, nemeckého matematika ruského pôvodu, ktorý sa považuje za otca tejto disciplíny.
Medzi témami, ktoré Cantor študoval, vyniká napríklad téma nekonečných množín a numerických množín.
Prvá Cantorova práca o teórii množín je z roku 1874. Okrem toho stojí za zmienku, že si často vymieňal myšlienky s matematikom Richardom Dedekindom, ktorý sa podieľal na štúdiu prirodzených čísel.
Číselné množiny
Numerické množiny sú rôzne zoskupenia, v ktorých sú čísla klasifikované podľa rôznych vlastností. Je to abstraktná konštrukcia, ktorá má dôležité uplatnenie v matematike.
Numerické množiny sú zložité, imaginárne, skutočné, iracionálne, racionálne, celé a prirodzené a je možné ich ilustrovať v nasledujúcom Vennovom diagrame:
Komplexné číslaImaginárne číslaReálne číslaIracionálne číslaRacionálne číslaCelé číslaPrirodzené čísla
Nastaviť algebru
Algebra množín zahŕňa vzťahy, ktoré sa medzi nimi dajú nadviazať.
Vynikajú teda tieto operácie:
- Únia súprav: Spojenie dvoch alebo viacerých množín obsahuje každý prvok, ktorý je obsiahnutý v najmenej jednej z nich.
- Priesečník súprav: Priesečník dvoch alebo viacerých množín obsahuje všetky prvky, ktoré tieto množiny zdieľajú alebo majú spoločné.
- Nastaviť rozdiel: Rozdiel jednej množiny od druhej sa rovná prvkom prvej množiny mínus prvky druhej množiny.
- Doplnkové sady: Doplnok sady obsahuje všetky prvky, ktoré táto sada neobsahuje (ale ktoré patria do inej referenčnej sady).
- Symetrický rozdiel: Symetrický rozdiel dvoch množín zahŕňa všetky prvky, ktoré sú v jednej alebo druhej, ale nie v oboch súčasne.
- Kartézsky súčin: Je to operácia, ktorej výsledkom je nová sada. Obsahuje ako prvky usporiadané páry alebo n-tice (usporiadané rady) prvkov, ktoré patria do dvoch alebo viacerých množín. Sú to zoradené páry, ak ide o dve sady, a n-tice, ak ide o viac ako dve sady.