Ťažisko trojuholníka je bod, kde sa pretínajú mediány postavy. Je tiež známy ako ťažisko.
Malo by sa pamätať na to, že stredná hodnota je segment, ktorý spája vrchol trojuholníka so stredom jeho protiľahlej strany. Každý trojuholník má teda tri mediány.
Napríklad v trojuholníku vyššie je ťažiskom bod O, pričom mediány sú segmenty AF, BD a CE.
Dôležitou vlastnosťou ťažiska je, že jeho vzdialenosť od každého vrcholu je dvojnásobkom vzdialenosti od opačnej strany.
Aby sme to lepšie vysvetlili, v každom mediáne možno rozlíšiť dve časti:
- Vzdialenosť od vrcholu k ťažisku, ktorá je 2/3 dĺžky mediánu
- Zvyšná 1/3, čo je vzdialenosť od ťažiska k stredu opačnej strany.
Na obrázku vyššie napríklad platí, že:
Ako nájsť ťažisko trojuholníka
Pri hľadaní ťažiska trojuholníka musíme brať do úvahy, že ak poznáme súradnice troch vrcholov trojuholníka, zodpovedajú súradnice ťažiska jeho aritmetickému priemeru. Predpokladajme teda, že vrcholy sú:
Potom by súradnice ťažiska, ktoré budeme nazývať O, boli:
Teraz je tiež možné nájsť ťažisko, ak máme rovnice priamok, ktoré obsahujú aspoň dva z mediánov.
Pripomeňme si, že v analytickej geometrii môže byť čiara vyjadrená ako algebraická rovnica prvého rádu ako:
y = xm + b
V zobrazenej rovnici je y súradnica na osi súradnice (zvislá), x je súradnica na osi úsečky (vodorovná), m je sklon (sklon), ktorý tvorí priamku vzhľadom na os úsečky, a b je bod, v ktorom priamka pretína súradnicovú os.
Aby sme lepšie pochopili vyššie uvedené, pozrime sa na príklad.
Príklad ťažiska
Predpokladajme, že máme trojuholník, ktorého poznáme dva z jeho vrcholov:
A (0,4) a B (-2,1)
Teraz je ďalej známe, že stred bočného protiľahlého vrcholu A je (3,1) a stred bočného protiľahlého vrcholu B je (4, 2,5). Stojí za to objasniť, že používame bodkočiarku, aby sme si ju nemýlili s čiarkou, ktorá oddeľuje desatinné miesta.
Najskôr nájdeme rovnicu priamky, ktorá obsahuje strednú hodnotu, ktorá začína od vrcholu A, berúc do úvahy, že sklon pri prechode z jedného bodu do druhého musí byť vždy rovnaký. Sklon je zmena vo zvislej osi medzi zmenou v vodorovnej osi:
Čo sme urobili, je predpoklad, že priamka prechádza bodom (x1, y1), ktorý je vrcholom A (0, 4), a bodom (x2, y2), ktorý je stredom jeho protiľahlej strany (3, 1).
Potom urobíme to isté s vrcholom B (-2,1) a stredom jeho protiľahlej strany (-4, -2,5):
V ďalšom kroku vyrovnáme pravú stranu dvoch nájdených rovníc, ktoré slúžia na riešenie hodnoty na osi X, keď sa obe zhodujú:
Potom v ktorejkoľvek z rovníc nájdeme hodnotu y:
Preto je ťažiskom trojuholníka bod (2,2) v karteziánskej rovine.